(KNTT10) Một cây cầu treo có trọng lượng phân bố đều dọc theo chiều dài của nó. Cây cầu có trụ tháp đôi cao $75$ m so với mặt của cây cầu và cách nhau $400$ m. Các dây cáp có hình dạng đường parabol và được treo trên các đỉnh tháp. Các dây cáp chạm mặt cầu ở tâm của cây cầu. Tìm chiều cao của dây cáp tại điểm cách tâm của cây cầu 100 m (giả sử mặt của cây cầu là bằng phẳng).
Xem lời giải
Lời giải
Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ như trên ta có: Trục $Ox$ dọc theo mặt của cây cầu, trục $Oy$ vuông góc với trục $Ox$ tại tâm của cây cầu. Khi đó các dây cáp có hình dạng đường parabol có bề lõm hướng lên trên và đỉnh của parabol là gốc $O(0;0)$. Vì thế ta giả sử công thức của parabol là $y=ax^{2},a>0$.
Theo giả thiết, cây cầu có trụ tháp đôi cao 75 m so với mặt của cây cầu và cách nhau 400 m nên ta có các điểm $A(-200;75)$ và $B(200;75)$ thuộc parabol. Khi đó ta có:
$75=a\cdot200^{2}\Rightarrow a=\frac{3}{1600}$.
Do đó, phương trình của parabol là: $y=\frac{3}{1600}x^{2}$.
Với $x=100$ ta có $y=\frac{3}{1600}\cdot100^{2}=18,75$.
Vậy chiều cao của dây cáp tại điểm cách tâm của cây cầu 100 m là 18,75 m.
