Bài tập nâng cao · Bài 10
Dạng 1. Phương trình đường tròn
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 10
Xác định tâm và bán kính của đường tròn $(C)$, biết $(C)$ đi qua 3 điểm $A(0;4)$, $B(3;4)$, $C(3;0)$.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1. Giả sử phương trình đường tròn $(C)$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$.
Khi đó tâm $I(a;b)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$.
Ta có $A(0;4), B(3;4), C(3;0)$ thuộc đường tròn $(C)$ nên tọa độ của $A,B,C$ thỏa mãn phương trình đường tròn $(C)$. Thay tọa độ của $A,B,C$ vào pt đường tròn $(C)$, ta được: $\left\{\begin{array}{l}0^2+4^2-2\cdot0\cdot a-2\cdot4\cdot b+c=0\\3^2+4^2-2\cdot3\cdot a-2\cdot4\cdot b+c=0\\3^2+0^2-2\cdot3\cdot a-2\cdot0\cdot b+c=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-8b+c=-16\\-6a-8b+c=-25\\-6a+c=-9\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\dfrac32\\b=2\\c=0\end{array}\right.$.
Vậy tâm $I\left(\dfrac32;2\right)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{\left(\dfrac32\right)^2+2^2}=\dfrac52$.
Cách 2. Gọi $I(a;b)$ và $R$ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn $(C)$.
Ta có $A(0;4), B(3;4), C(3;0)$ thuộc đường tròn $(C)$ nên: $IA=IB=IC=R\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}IA=IB\\IA=IC\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\sqrt{(0-a)^2+(4-b)^2}=\sqrt{(3-a)^2+(4-b)^2}\\\sqrt{(0-a)^2+(4-b)^2}=\sqrt{(3-a)^2+(0-b)^2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}(0-a)^2+(4-b)^2=(3-a)^2+(4-b)^2\\(0-a)^2+(4-b)^2=(3-a)^2+(0-b)^2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a^2=a^2-6a+9\\b^2-8b+16=b^2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\dfrac32\\b=2\end{array}\right.\Rightarrow I\left(\dfrac32;2\right)$.
Bán kính $R=IA=\sqrt{\left(0-\dfrac32\right)^2+(4-2)^2}=\dfrac52$. Vậy $I\left(\dfrac32;2\right)$, $R=\dfrac52$.
Cách 3:
Gọi I là tâm đường tròn, khi đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}IA=IB\\IB=IC\end{array}\right.$, do đó I là giao điểm hai đường trung trực của hai đoạn AB và BC.
Phương trình đường trung trực đoạn AB là: $2x-3=0$
Phương trình đường trung trực đoạn BC là: $y=2$
Tọa độ I là nghiệm của hệ:
$\left\{\begin{array}{l}2x-3=0\\y=2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac32\\y=2\end{array}\right.$
Vậy $I\left(\dfrac32;2\right)$, $R=IA=\dfrac52$.
Cách 4:
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;0);\overrightarrow{BC}=(0;-4)\Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$, do đó tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm cạnh huyền $AC$.
Vậy $I\left(\dfrac32;2\right)$, $R=IA=\dfrac52$.
Khi đó tâm $I(a;b)$ và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$.
Ta có $A(0;4), B(3;4), C(3;0)$ thuộc đường tròn $(C)$ nên tọa độ của $A,B,C$ thỏa mãn phương trình đường tròn $(C)$. Thay tọa độ của $A,B,C$ vào pt đường tròn $(C)$, ta được: $\left\{\begin{array}{l}0^2+4^2-2\cdot0\cdot a-2\cdot4\cdot b+c=0\\3^2+4^2-2\cdot3\cdot a-2\cdot4\cdot b+c=0\\3^2+0^2-2\cdot3\cdot a-2\cdot0\cdot b+c=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}-8b+c=-16\\-6a-8b+c=-25\\-6a+c=-9\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\dfrac32\\b=2\\c=0\end{array}\right.$.
Vậy tâm $I\left(\dfrac32;2\right)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{\left(\dfrac32\right)^2+2^2}=\dfrac52$.
Cách 2. Gọi $I(a;b)$ và $R$ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn $(C)$.
Ta có $A(0;4), B(3;4), C(3;0)$ thuộc đường tròn $(C)$ nên: $IA=IB=IC=R\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}IA=IB\\IA=IC\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\sqrt{(0-a)^2+(4-b)^2}=\sqrt{(3-a)^2+(4-b)^2}\\\sqrt{(0-a)^2+(4-b)^2}=\sqrt{(3-a)^2+(0-b)^2}\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}(0-a)^2+(4-b)^2=(3-a)^2+(4-b)^2\\(0-a)^2+(4-b)^2=(3-a)^2+(0-b)^2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a^2=a^2-6a+9\\b^2-8b+16=b^2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=\dfrac32\\b=2\end{array}\right.\Rightarrow I\left(\dfrac32;2\right)$.
Bán kính $R=IA=\sqrt{\left(0-\dfrac32\right)^2+(4-2)^2}=\dfrac52$. Vậy $I\left(\dfrac32;2\right)$, $R=\dfrac52$.
Cách 3:
Gọi I là tâm đường tròn, khi đó ta có: $\left\{\begin{array}{l}IA=IB\\IB=IC\end{array}\right.$, do đó I là giao điểm hai đường trung trực của hai đoạn AB và BC.
Phương trình đường trung trực đoạn AB là: $2x-3=0$
Phương trình đường trung trực đoạn BC là: $y=2$
Tọa độ I là nghiệm của hệ:
$\left\{\begin{array}{l}2x-3=0\\y=2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=\dfrac32\\y=2\end{array}\right.$
Vậy $I\left(\dfrac32;2\right)$, $R=IA=\dfrac52$.
Cách 4:
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;0);\overrightarrow{BC}=(0;-4)\Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$, do đó tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Khi đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trung điểm cạnh huyền $AC$.
Vậy $I\left(\dfrac32;2\right)$, $R=IA=\dfrac52$.