Bài tập nâng cao · Bài 9
Dạng 1. Phương trình đường tròn
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 9
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-6y-15=0$ và $(C'):x^2+y^2-6x-2y-3=0$. Tìm vị trí tương đối của $(C)$ và $(C')$
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1: $(C)$ có tâm $I(1;3)$ và bán kính $R=5$, $(C')$ có tâm $I'(3;1)$ và bán kính $R'=\sqrt{13}$.
$II'=\sqrt{(3-1)^2+(1-3)^2}=2\sqrt2$
Ta thấy $|R-R'|<II'<|R+R'|$ suy ra hai đường tròn cắt nhau.
Cách 2: Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-2x-6y-15=0\\x^2+y^2-6x-2y-3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-2x-6y-15=0\\x-y-3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}(y+3)^2+y^2-2(y+3)-6y-15=0\\x=y+3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y^2-y-6=0\\x=y+3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=-2\text{ hoặc }y=3\\x=y+3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=-2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=6\\y=3\end{array}\right.\end{array}\right.$
Số nghiệm của hệ trên là số giao điểm của hai đường tròn.
Suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm có tọa độ là $A(1;-2)$ và $B(6;3)$.
$II'=\sqrt{(3-1)^2+(1-3)^2}=2\sqrt2$
Ta thấy $|R-R'|<II'<|R+R'|$ suy ra hai đường tròn cắt nhau.
Cách 2: Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-2x-6y-15=0\\x^2+y^2-6x-2y-3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2-2x-6y-15=0\\x-y-3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}(y+3)^2+y^2-2(y+3)-6y-15=0\\x=y+3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y^2-y-6=0\\x=y+3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}y=-2\text{ hoặc }y=3\\x=y+3\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x=1\\y=-2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{l}x=6\\y=3\end{array}\right.\end{array}\right.$
Số nghiệm của hệ trên là số giao điểm của hai đường tròn.
Suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm có tọa độ là $A(1;-2)$ và $B(6;3)$.