Bài tập nâng cao · Bài 33
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 33
Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a). $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\ldots+\frac{1}{n\left( n+1 \right)}$
b). $u_n=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{n^{2}}$
c). $u_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\ldots+\frac{1}{\left( 2n-1 \right)\left( 2n+1 \right)}$
d). $u_n=\frac{1}{1.4}+\frac{1}{2.5}+\ldots+\frac{1}{n\left( n+3 \right)}$
a). $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\ldots+\frac{1}{n\left( n+1 \right)}$
b). $u_n=\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ldots+\frac{1}{n^{2}}$
c). $u_n=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\ldots+\frac{1}{\left( 2n-1 \right)\left( 2n+1 \right)}$
d). $u_n=\frac{1}{1.4}+\frac{1}{2.5}+\ldots+\frac{1}{n\left( n+3 \right)}$
Xem lời giải
Lời giải
a). Rõ ràng $u_n>0,\forall n\in \mathbb{N}*$ nên $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới.
Lại có: $\frac{1}{k\left( k+1 \right)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$. Suy ra $u_n=\left( 1-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)=1-\frac{1}{n+1}<1,\forall n\in \mathbb{N}*$nên $\left( u_n \right)$ bị chặn trên.
Kết luận $\left( u_n \right)$ bị chặn.
b). Rõ ràng $u_n>0,\forall n\in \mathbb{N}*$ nên $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới.
Có $\frac{1}{k^{2}}<\frac{1}{k\left( k-1 \right)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k},\forall k\geq 2,k\in \mathbb{N}$. Do đó:
$u_n<1+\left( 1-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right)=2-\frac{1}{n}<2$ với mọi số nguyên dương n, nên $\left( u_n \right)$ bị chặn trên.
Kết luận $\left( u_n \right)$ bị chặn.
c). Rõ ràng $u_n>0,\forall n\in \mathbb{N}*$ nên $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới.
Lại có: $\frac{1}{\left( 2k-1 \right)\left( 2k+1 \right)}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1} \right)$. Suy ra $u_n=\frac{1}{2}\left[ \left( 1-\frac{1}{3} \right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{5} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right) \right]=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2n+1} \right)<\frac{1}{2}$ với mọi số nguyên dương n, nên $\left( u_n \right)$ bị chặn trên.
Kết luận $\left( u_n \right)$ bị chặn.
d). Rõ ràng $u_n>0,\forall n\in \mathbb{N}*$ nên $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới.
Lại có: $\frac{1}{k\left( k+3 \right)}=\frac{1}{3}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+3} \right)$. Suy ra $u_n=\frac{1}{3}[\left( 1-\frac{1}{4} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{5} \right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{6} \right)$
$+\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{7} \right)+\ldots$ $+\left( \frac{1}{n-3}-\frac{1}{n} \right)+\left( \frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+1} \right)+\left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+2} \right)+\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+3} \right)$]
$u_n=\frac{1}{3}\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3} \right)<\frac{11}{18}$ với mọi số nguyên dương n, nên $\left( u_n \right)$ bị chặn trên.
Kết luận $\left( u_n \right)$ bị chặn.
Lại có: $\frac{1}{k\left( k+1 \right)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$. Suy ra $u_n=\left( 1-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)=1-\frac{1}{n+1}<1,\forall n\in \mathbb{N}*$nên $\left( u_n \right)$ bị chặn trên.
Kết luận $\left( u_n \right)$ bị chặn.
b). Rõ ràng $u_n>0,\forall n\in \mathbb{N}*$ nên $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới.
Có $\frac{1}{k^{2}}<\frac{1}{k\left( k-1 \right)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k},\forall k\geq 2,k\in \mathbb{N}$. Do đó:
$u_n<1+\left( 1-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right)=2-\frac{1}{n}<2$ với mọi số nguyên dương n, nên $\left( u_n \right)$ bị chặn trên.
Kết luận $\left( u_n \right)$ bị chặn.
c). Rõ ràng $u_n>0,\forall n\in \mathbb{N}*$ nên $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới.
Lại có: $\frac{1}{\left( 2k-1 \right)\left( 2k+1 \right)}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1} \right)$. Suy ra $u_n=\frac{1}{2}\left[ \left( 1-\frac{1}{3} \right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{5} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1} \right) \right]=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{2n+1} \right)<\frac{1}{2}$ với mọi số nguyên dương n, nên $\left( u_n \right)$ bị chặn trên.
Kết luận $\left( u_n \right)$ bị chặn.
d). Rõ ràng $u_n>0,\forall n\in \mathbb{N}*$ nên $\left( u_n \right)$ bị chặn dưới.
Lại có: $\frac{1}{k\left( k+3 \right)}=\frac{1}{3}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+3} \right)$. Suy ra $u_n=\frac{1}{3}[\left( 1-\frac{1}{4} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{5} \right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{6} \right)$
$+\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{7} \right)+\ldots$ $+\left( \frac{1}{n-3}-\frac{1}{n} \right)+\left( \frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+1} \right)+\left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+2} \right)+\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+3} \right)$]
$u_n=\frac{1}{3}\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3} \right)<\frac{11}{18}$ với mọi số nguyên dương n, nên $\left( u_n \right)$ bị chặn trên.
Kết luận $\left( u_n \right)$ bị chặn.