Bài tập nâng cao · Bài 32
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 32
Cho dãy số $\left( u_n \right)$ định bởi $\left\{ \begin{array}{l} u_1=1 \\ u_{n+1}=\frac{2}{3}u_n+5 \end{array} \right.$ $\forall n\in N^{*}$
a). Chứng minh$u_n<15,\forall n\in N*$.
b). Chứng minh dãy số $\left( u_n \right)$ tăng và bị chặn dưới
a). Chứng minh$u_n<15,\forall n\in N*$.
b). Chứng minh dãy số $\left( u_n \right)$ tăng và bị chặn dưới
Xem lời giải
Lời giải
a). Ta có $u_1=1<15$, giả sử $u_k<15$, khi đó $u_{k+1}=\frac{2}{3}u_k+5<\frac{2}{3}.\left( 15 \right)+5=15$
Vậy$u_n<15\forall,n\in N*\left( 1 \right)$
b). Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{2}{3}u_n+5-u_n=\frac{15-u_n}{3}>0,\forall n\in N*\left( do\left( 1 \right) \right)$
$\Rightarrow$ dãy số $\left( u_n \right)$ tăng $\Rightarrow u_n\geq u_1=1\Rightarrow \left( u_n \right)$ bị chặn dưới.
Vậy$u_n<15\forall,n\in N*\left( 1 \right)$
b). Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{2}{3}u_n+5-u_n=\frac{15-u_n}{3}>0,\forall n\in N*\left( do\left( 1 \right) \right)$
$\Rightarrow$ dãy số $\left( u_n \right)$ tăng $\Rightarrow u_n\geq u_1=1\Rightarrow \left( u_n \right)$ bị chặn dưới.