Bài tập nâng cao · Bài 31
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 31
Cho $U_n=1+\frac{1}{2^{5}}+\frac{1}{3^{5}}+\ldots+\frac{1}{n^{5}}\forall n\in N*.$ Chứng minh $\left( U_n \right)$ bị chặn trên.
Xem lời giải
Lời giải
Với $k=2,3,\ldots,n$ ta có $k^{5}>k\left( k-1 \right)>0$ (do$k^{5}-k\left( k-1 \right)=k^{2}\left( k^{3}-1 \right)+k>0)$
$\Rightarrow \frac{1}{k^{5}}<\frac{1}{k\left( k-1 \right)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$
Do đó:
$1=1$
$\frac{1}{2^{5}}<1-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3^{5}}<\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
……………….
$\frac{1}{n^{5}}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
$\Rightarrow U_n\leq 2-\frac{1}{n}<2\forall n\in N*\Rightarrow \left( U_n \right)$ bị chặn trên
$\Rightarrow \frac{1}{k^{5}}<\frac{1}{k\left( k-1 \right)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$
Do đó:
$1=1$
$\frac{1}{2^{5}}<1-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3^{5}}<\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$
……………….
$\frac{1}{n^{5}}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
$\Rightarrow U_n\leq 2-\frac{1}{n}<2\forall n\in N*\Rightarrow \left( U_n \right)$ bị chặn trên