Bài tập nâng cao · Bài 30
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 30
Xét tính bị chặn của dãy số: $u_n=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n};n\in N*$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $u_n=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n}>0;\forall n\in N*$ nên $\left( u_n \right)$bị chặn dưới (1).
Lại có: $u_n=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_n^{k}}\left( \frac{1}{n} \right)^{k}=\sum\limits_{k=0}^{n}{\left[ \frac{n!}{k!\left( n-k \right)!n^{k}} \right]}$
$=\sum\limits_{k=0}^{n}{\left[ \frac{1}{k!}.\frac{\left( n-k+1 \right)}{n}.\frac{\left( n-k+2 \right)}{n}\ldots\frac{\left( n-k+k \right)}{n} \right]}\leq \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}};n\in N*$
Mà: $\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}\leq 1+1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\ldots+\frac{1}{\left( n-1 \right).n}$
$=2+\left( 1-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right)=3-\frac{1}{n}<3;\forall n\in N*$
Suy ra: $u_n<3,\forall n\in N*$ nên dãy số $(u_n)$ bị chặn trên (2).
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ dãy số $(u_n)$bị chặn.
Lại có: $u_n=\left( 1+\frac{1}{n} \right)^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_n^{k}}\left( \frac{1}{n} \right)^{k}=\sum\limits_{k=0}^{n}{\left[ \frac{n!}{k!\left( n-k \right)!n^{k}} \right]}$
$=\sum\limits_{k=0}^{n}{\left[ \frac{1}{k!}.\frac{\left( n-k+1 \right)}{n}.\frac{\left( n-k+2 \right)}{n}\ldots\frac{\left( n-k+k \right)}{n} \right]}\leq \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}};n\in N*$
Mà: $\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}\leq 1+1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\ldots+\frac{1}{\left( n-1 \right).n}$
$=2+\left( 1-\frac{1}{2} \right)+\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)+\ldots+\left( \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} \right)=3-\frac{1}{n}<3;\forall n\in N*$
Suy ra: $u_n<3,\forall n\in N*$ nên dãy số $(u_n)$ bị chặn trên (2).
Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ dãy số $(u_n)$bị chặn.