Cho dãy số $\left( u_n \right)$ với $u_n=n^{2}-4n+3.$
a). Viết công thức truy hồi của dãy số.
b). Chứng minh dãy số bị chặn dưới.
c). Tính tổng n số hạng đầu của dãy số đã cho.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a).Ta có: $u_1=1^{2}-4.1+3=0.$ Xét hiệu:$u_{n+1}-u_n=\left[ \left( n+1 ight)^{2}-4\left( n+1 ight)+3 ight]-\left( n^{2}-4n+3 ight)=2n-3$ $\Rightarrow u_{n+1}=u_n+2n-3.$ Vậy công thức truy hồi:$\left\{ \begin{array}{l} u_1=0 \ u_{n+1}=u_n+2n-3 \end{array} ight. \forall n\geq 1.$ b). Ta có:$u_n=n^{2}-4n+4-1=\left( n-2 ight)^{2}-1\geq -1 \forall n\geq 1.$ Vậy dãy số bị chặn dưới, nhưng không bị chặn trên. c). Ta có: $\left. \begin{array}{l} u_1=1^{2}-4.1+3 \ u_2=2^{2}-4.2+3 \ u_3=3^{2}-4.3+3 \ \ldots \ u_n=n^{2}-4.n+3 \end{array} ight\}+$ $S_n=\left( 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2} ight)-4\left( 1+2+3+\ldots+n ight)+3n$ $=\frac{n\left( n+1 ight)\left( 2n+1 ight)}{6}-\frac{4n\left( n+1 ight)}{2}+3n$ $=\frac{n\left( n+1 ight)\left( 2n+1 ight)-12n\left( n+1 ight)+18n}{6}$ $=\frac{n\left( n+1 ight)\left( 2n-11 ight)+18n}{6}$

Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 29