Bài tập nâng cao · Bài 28
Bài tập nâng cao Dãy số · Bài 28
Chứng minh dãy số $\left( u_n \right)$, với$u_n=\frac{7n+5}{5n+7}$ là một dãy số tăng và bị chặn.
Xem lời giải
Lời giải
Công thức $u_n$ được viết lại: $u_n=\frac{7}{5}-\frac{24}{5\left( 5n+7 \right)}$
Xét hiệu số:$u_{n+1}-u_n=\left( \frac{7}{5}-\frac{24}{5\left[ 5\left( n+1 \right)+7 \right]} \right)-\left( \frac{7}{5}-\frac{24}{5\left( 5n+7 \right)} \right)$
$=\frac{24}{5}\left( \frac{1}{5n+7}-\frac{1}{5\left( n+1 \right)+7} \right)>0 \forall n\geq 1.$ $\Rightarrow u_{n+1}>u_n$. Vậy dãy số $\left( u_n \right)$là dãy số tăng.
Ta có:$0<\frac{1}{5n+7}\leq \frac{1}{12} \forall n\geq 1$ $\Leftrightarrow 0>-\frac{24}{5\left( 5n+7 \right)}\geq -\frac{2}{5}$ $\Leftrightarrow \frac{7}{5}>\frac{7}{5}-\frac{24}{5\left( 5n+7 \right)}\geq \frac{7}{5}-\frac{2}{5}$
$\Leftrightarrow 1\leq u_n<\frac{7}{5}.$ Suy ra $\left( u_n \right)$ là một dãy số bị chặn.
Kết luận $\left( u_n \right)$ là một dãy số tăng và bị chặn.
Xét hiệu số:$u_{n+1}-u_n=\left( \frac{7}{5}-\frac{24}{5\left[ 5\left( n+1 \right)+7 \right]} \right)-\left( \frac{7}{5}-\frac{24}{5\left( 5n+7 \right)} \right)$
$=\frac{24}{5}\left( \frac{1}{5n+7}-\frac{1}{5\left( n+1 \right)+7} \right)>0 \forall n\geq 1.$ $\Rightarrow u_{n+1}>u_n$. Vậy dãy số $\left( u_n \right)$là dãy số tăng.
Ta có:$0<\frac{1}{5n+7}\leq \frac{1}{12} \forall n\geq 1$ $\Leftrightarrow 0>-\frac{24}{5\left( 5n+7 \right)}\geq -\frac{2}{5}$ $\Leftrightarrow \frac{7}{5}>\frac{7}{5}-\frac{24}{5\left( 5n+7 \right)}\geq \frac{7}{5}-\frac{2}{5}$
$\Leftrightarrow 1\leq u_n<\frac{7}{5}.$ Suy ra $\left( u_n \right)$ là một dãy số bị chặn.
Kết luận $\left( u_n \right)$ là một dãy số tăng và bị chặn.