Bài tự luận · Bài 10
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 10
Tỉ lệ sản phẩm lỗi của một lô hàng là $ 1\% $. Từ lô hàng này chọn ra ngẫu nhiên (có hoàn lại) $ n $ sản phẩm một cách độc lập. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ n $ sao cho xác suất nhận được ít nhất 1 sản phẩm lỗi trong $ n $ sản phẩm được chọn ra lớn hơn 0,95.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ X $ là số sản phẩm lỗi trong $ n $ sản phẩm được chọn ra $ (n\in \mathbb{N}) $. Khi đó, $ X $ là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số $ n $ và $ p=0,01 $.
Do đó, $ P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-C_{ n } ^{ 0 }\cdot (0,01) ^ { 0 } .(1-0,01) ^ { n-0 } =1-(0,99) ^ { n } $.
Suy ra $ P(X\geq 1)>0,95\Leftrightarrow 1-(0,99) ^ { n } >0,95\Leftrightarrow (0,99) ^ { n } < 0,05\Leftrightarrow n>log_{ 0,99 } 0,05 $.
Từ đó, ta có: $ n>298,07 $.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $ n $ là 299.
Do đó, $ P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-C_{ n } ^{ 0 }\cdot (0,01) ^ { 0 } .(1-0,01) ^ { n-0 } =1-(0,99) ^ { n } $.
Suy ra $ P(X\geq 1)>0,95\Leftrightarrow 1-(0,99) ^ { n } >0,95\Leftrightarrow (0,99) ^ { n } < 0,05\Leftrightarrow n>log_{ 0,99 } 0,05 $.
Từ đó, ta có: $ n>298,07 $.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $ n $ là 299.