Bài tập nâng cao · Bài 89
Dạng 3. Xác suất liên quan hình học, đại số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 89
Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh từ các đỉnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn tâm O, biết đa giác có 170 đường chéo. Tính xác suất $P$ của biến cố chọn được ba đỉnh sao cho ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông không cân
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $n$ là số đỉnh của đa giác $\left( n\geq 3,n\in \mathbb{N} \right)$
Theo giả thiết đa giác có 170 đường chéo nên
$C_{n}^{2}-n=170\Leftrightarrow \frac{n!}{2!\left( n-2 \right)!}=170\Leftrightarrow n^{2} -3n-340=0\Leftrightarrow \left[ n=20 \\ n=-17 \right.\Rightarrow n=20$.
$n\left( Ω \right)=C_{20}^{3}=1140$.
Gọi $A$ là biến cố “chọn được ba đỉnh sao cho ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông không cân”.
Đường tròn có 10 đường kính khác nhau. Chọn 1 đường kính có 10 cách.
Chọn 1 trong 16 đỉnh (bỏ 2 điểm ở chính giữa cung) còn lại tạo thành một tam giác vuông không cân có 16 cách chọn.
Vậy số tam giác vuông không cân được tạo thành là $10.16=160\Rightarrow n\left( A \right)=160$.
$\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{160}{1140}=\frac{8}{57}$.
Theo giả thiết đa giác có 170 đường chéo nên
$C_{n}^{2}-n=170\Leftrightarrow \frac{n!}{2!\left( n-2 \right)!}=170\Leftrightarrow n^{2} -3n-340=0\Leftrightarrow \left[ n=20 \\ n=-17 \right.\Rightarrow n=20$.
$n\left( Ω \right)=C_{20}^{3}=1140$.
Gọi $A$ là biến cố “chọn được ba đỉnh sao cho ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông không cân”.
Đường tròn có 10 đường kính khác nhau. Chọn 1 đường kính có 10 cách.
Chọn 1 trong 16 đỉnh (bỏ 2 điểm ở chính giữa cung) còn lại tạo thành một tam giác vuông không cân có 16 cách chọn.
Vậy số tam giác vuông không cân được tạo thành là $10.16=160\Rightarrow n\left( A \right)=160$.
$\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{160}{1140}=\frac{8}{57}$.