Bài tập nâng cao · Bài 90
Dạng 3. Xác suất liên quan hình học, đại số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 90
Cho một hình vuông, mỗi cạnh của hình vuông đó được chia thành $2020$ đoạn bằng nhau bởi $2019$ điểm chia (không tính hai đầu mút mỗi cạnh). Xét các tứ giác có 4 đỉnh là 4 điểm chia trên $4$ cạnh của hình vuông đã cho. Chọn lần lượt hai tứ giác. Xác suất để lần thứ hai chọn được hình bình hành là:
Xem lời giải
Lời giải
Tứ giác có mỗi đỉnh thuộc mỗi cạnh nên số cách chọn tứ giác là:$2019^{4}$ cách.
Để tứ giác được chọn là hình bình hành thì tứ giác được chọn phải có hai đường chéo đi qua tâm $O$ của hình vuông. Do đó số cách chọn để được hình bình hành là $2019^{2}$.
Số cách chọn lần lượt hai tứ giác là $2019^{4} \left( 2019^{4} -1 \right)$.
Nếu cả hai lần đều chọn được hình bình hành thì số cách chọn là: $2019^{2} \left( 2019^{2} -1 \right)$.
Nếu chỉ lần thứ hai chọn được hình bình hành thì số cách chọn là $\left( 2019^{4} -2019^{2} \right)2019^{2}$.
Vậy xác xuất để tứ giác được chọn lần thứ hai là hình bình hành $P=\frac{2019^{2} \left( 2019^{2} -1 \right)+\left( 2019^{4} -2019^{2} \right)2019^{2}}{2019^{4} \left( 2019^{4} -1 \right) }$$=\frac{1}{2019^{2} }$.
Để tứ giác được chọn là hình bình hành thì tứ giác được chọn phải có hai đường chéo đi qua tâm $O$ của hình vuông. Do đó số cách chọn để được hình bình hành là $2019^{2}$.
Số cách chọn lần lượt hai tứ giác là $2019^{4} \left( 2019^{4} -1 \right)$.
Nếu cả hai lần đều chọn được hình bình hành thì số cách chọn là: $2019^{2} \left( 2019^{2} -1 \right)$.
Nếu chỉ lần thứ hai chọn được hình bình hành thì số cách chọn là $\left( 2019^{4} -2019^{2} \right)2019^{2}$.
Vậy xác xuất để tứ giác được chọn lần thứ hai là hình bình hành $P=\frac{2019^{2} \left( 2019^{2} -1 \right)+\left( 2019^{4} -2019^{2} \right)2019^{2}}{2019^{4} \left( 2019^{4} -1 \right) }$$=\frac{1}{2019^{2} }$.