Bài tập nâng cao · Bài 91
Dạng 3. Xác suất liên quan hình học, đại số
Bài tập nâng cao Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất · Bài 91
Một đề thi trắc nghiệm gồm $50$ câu hỏi độc lập. Mỗi câu có 4 đáp án trả lời trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được $0,2$ điểm, câu trả lời sai được $0$ điểm. Học sinh A làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên đáp án cho $50$ câu hỏi. Biết xác suất làm đúng $k$ câu của học sinh A đạt giá trị lớn nhất. Khi đó giá trị của $k$ là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $M$ là biến cố “Học sinh A làm đúng $k$ câu trong đề trắc nghiệm $50$ câu”.$\left( k\in \mathbb{N},0\leq k\leq 50 \right)$.
Số câu học sinh A làm đúng là $k$, số câu học sinh A làm sai là $50-k$.
Xác suất để học sinh A làm đúng một câu là $\frac{1}{4}$, xác suất học sinh A làm đúng $k$ câu là $\left( \frac{1}{4} \right)^{k}$.
Xác suất để học sinh A làm sai một câu là $\frac{3}{4}$, xác suất học sinh A làm sai $50-k$ câu là $\left( \frac{3}{4} \right)^{50-k}$.
Xác suất để biến cố $M$ xảy ra là: $C_{50}^{k}\left( \frac{1}{4} \right)^{k} \left( \frac{3}{4} \right)^{50-k} =a_{k}$.
+) $a_{k}\leq a_{ k+1 } \Leftrightarrow C_{50}^{k}\left( \frac{1}{4} \right)^{k} \left( \frac{3}{4} \right)^{50-k} \leq C_{50}^{k+1}\left( \frac{1}{4} \right)^{k+1} \left( \frac{3}{4} \right)^{49-k}$
$\Leftrightarrow \frac{50!}{k!\left( 50-k \right)!}\left( \frac{1}{4} \right)^{k} \left( \frac{3}{4} \right)^{50-k} \leq \frac{50!}{\left( k+1 \right)!\left( 49-k \right)!}\left( \frac{1}{4} \right)^{k+1} \left( \frac{3}{4} \right)^{49-k}$
$\Leftrightarrow \frac{3}{4\left( 50-k \right)}\leq \frac{1}{4\left( k+1 \right)}\Leftrightarrow 3\left( k+1 \right)\leq 50-k\Leftrightarrow k\leq \frac{47}{4}$, mà $k\in \mathbb{N}\Rightarrow k\leq 11$
$\Rightarrow a_{1}< a_{2}< \ldots < a_{11}< a_{12}$.
+) $a_{k}\leq a_{ k-1 } \Leftrightarrow C_{50}^{k}\left( \frac{1}{4} \right)^{k} \left( \frac{3}{4} \right)^{50-k} \leq C_{50}^{k-1}\left( \frac{1}{4} \right)^{k-1} \left( \frac{3}{4} \right)^{51-k}$
$\Leftrightarrow \frac{50!}{k!\left( 50-k \right)!}\left( \frac{1}{4} \right)^{k} \left( \frac{3}{4} \right)^{50-k} \leq \frac{50!}{\left( k-1 \right)!\left( 51-k \right)!}\left( \frac{1}{4} \right)^{k-1} \left( \frac{3}{4} \right)^{51-k}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4k}\leq \frac{3}{4\left( 51-k \right)}\Leftrightarrow 3k\geq 51-k\Leftrightarrow k\geq \frac{51}{4}$, mà $k\in \mathbb{N}\Rightarrow k\geq 13$
$\Rightarrow a_{12}>a_{13}>a_{14}>\ldots >a_{49}>a_{50}$.
Vậy xác suất lớn nhất để biến cố $M$ xảy ra là $a_{12}=C_{50}^{12}\left( \frac{1}{4} \right)^{12} \left( \frac{3}{4} \right)^{38}$, học sinh làm đúng $12$ câu.
Số câu học sinh A làm đúng là $k$, số câu học sinh A làm sai là $50-k$.
Xác suất để học sinh A làm đúng một câu là $\frac{1}{4}$, xác suất học sinh A làm đúng $k$ câu là $\left( \frac{1}{4} \right)^{k}$.
Xác suất để học sinh A làm sai một câu là $\frac{3}{4}$, xác suất học sinh A làm sai $50-k$ câu là $\left( \frac{3}{4} \right)^{50-k}$.
Xác suất để biến cố $M$ xảy ra là: $C_{50}^{k}\left( \frac{1}{4} \right)^{k} \left( \frac{3}{4} \right)^{50-k} =a_{k}$.
+) $a_{k}\leq a_{ k+1 } \Leftrightarrow C_{50}^{k}\left( \frac{1}{4} \right)^{k} \left( \frac{3}{4} \right)^{50-k} \leq C_{50}^{k+1}\left( \frac{1}{4} \right)^{k+1} \left( \frac{3}{4} \right)^{49-k}$
$\Leftrightarrow \frac{50!}{k!\left( 50-k \right)!}\left( \frac{1}{4} \right)^{k} \left( \frac{3}{4} \right)^{50-k} \leq \frac{50!}{\left( k+1 \right)!\left( 49-k \right)!}\left( \frac{1}{4} \right)^{k+1} \left( \frac{3}{4} \right)^{49-k}$
$\Leftrightarrow \frac{3}{4\left( 50-k \right)}\leq \frac{1}{4\left( k+1 \right)}\Leftrightarrow 3\left( k+1 \right)\leq 50-k\Leftrightarrow k\leq \frac{47}{4}$, mà $k\in \mathbb{N}\Rightarrow k\leq 11$
$\Rightarrow a_{1}< a_{2}< \ldots < a_{11}< a_{12}$.
+) $a_{k}\leq a_{ k-1 } \Leftrightarrow C_{50}^{k}\left( \frac{1}{4} \right)^{k} \left( \frac{3}{4} \right)^{50-k} \leq C_{50}^{k-1}\left( \frac{1}{4} \right)^{k-1} \left( \frac{3}{4} \right)^{51-k}$
$\Leftrightarrow \frac{50!}{k!\left( 50-k \right)!}\left( \frac{1}{4} \right)^{k} \left( \frac{3}{4} \right)^{50-k} \leq \frac{50!}{\left( k-1 \right)!\left( 51-k \right)!}\left( \frac{1}{4} \right)^{k-1} \left( \frac{3}{4} \right)^{51-k}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{4k}\leq \frac{3}{4\left( 51-k \right)}\Leftrightarrow 3k\geq 51-k\Leftrightarrow k\geq \frac{51}{4}$, mà $k\in \mathbb{N}\Rightarrow k\geq 13$
$\Rightarrow a_{12}>a_{13}>a_{14}>\ldots >a_{49}>a_{50}$.
Vậy xác suất lớn nhất để biến cố $M$ xảy ra là $a_{12}=C_{50}^{12}\left( \frac{1}{4} \right)^{12} \left( \frac{3}{4} \right)^{38}$, học sinh làm đúng $12$ câu.