Bài tập nâng cao · Bài 4
Bài tập nâng cao Cấp số nhân · Bài 4
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi $\left\{ \begin{array}{l} u_1=2 \\ u_{n+1}=4u_n+9 \end{array} \right.,\forall n\geq 1$. Chứng minh rằng dãy số $\left(v_n\right)$ xác định bởi $v_n=u_n+3,\forall n\geq 1$ là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
Xem lời giải
Lời giải
Vì có $v_n=u_n+3\quad (1)\Rightarrow v_{n+1}=u_{n+1}+3\quad (2)$.
Theo đề $u_{n+1}=4u_n+9\Rightarrow u_{n+1}+3=4\left(u_n+3\right)$ (3).
Thay (1) và (2) vào (3) được: $v_{n+1}=4v_n,\forall n\geq 1\Rightarrow \frac{v_{n+1}}{v_n}=4$ (không đổi). Kết luận $\left(v_n\right)$ là cấp số nhân với công bội $q=4$ và số hạng đầu $v_1=u_1+3=5$.
Theo đề $u_{n+1}=4u_n+9\Rightarrow u_{n+1}+3=4\left(u_n+3\right)$ (3).
Thay (1) và (2) vào (3) được: $v_{n+1}=4v_n,\forall n\geq 1\Rightarrow \frac{v_{n+1}}{v_n}=4$ (không đổi). Kết luận $\left(v_n\right)$ là cấp số nhân với công bội $q=4$ và số hạng đầu $v_1=u_1+3=5$.