Bài tập nâng cao · Bài 4
Dạng 1. Phương trình đường tròn
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 4
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm $A(-1;0)$, $B(1;2)$ và có tâm thuộc đường thẳng $\Delta:2x+y-3=0$. Tìm phương trình của đường tròn $(C)$.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
Gọi $I(x;3-2x)\in\Delta$ là tâm của đường tròn $(C)$. Vì $(C)$ đi qua hai điểm $A(-1;0)$, $B(1;2)$ nên ta có
$IA=IB\Leftrightarrow IA^2=IB^2\Leftrightarrow(-1-x)^2+(0-3+2x)^2=(1-x)^2+(2-3+2x)^2$
$\Leftrightarrow(x+1)^2+(-3+2x)^2=(1-x)^2+(-1+2x)^2\Leftrightarrow-4x=-8\Leftrightarrow x=2$
Suy ra $I(2;-1)$. Do đó $(C)$ có bán kính $R=IA=\sqrt{(-1-2)^2+(0+1)^2}=\sqrt{10}$.
Vậy $(C)$ có phương trình $(x-2)^2+(y+1)^2=10$.
Cách 2:
+ Gọi $I$ là tâm của đường tròn $(C)$. Vì $(C)$ đi qua hai điểm $A(-1;0)$, $B(1;2)$ nên ta có $IA=IB$. Suy ra $I$ thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB$.
$d$ đi qua trung điểm $M(0;1)$ của đoạn thẳng $AB$ và nhận vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;2)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình
$2(x-0)+2(y-1)=0\Leftrightarrow2x+2y-2=0\Leftrightarrow x+y-1=0$.
+ Mà $I\in\Delta$ nên tọa độ của $I$ là nghiệm của hệ
$\left\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\2x+y-3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2\\y=-1\end{array}\right.$.
Suy ra $I(2;-1)$. Do đó $(C)$ có bán kính $R=IA=\sqrt{(-1-2)^2+(0+1)^2}=\sqrt{10}$.
Vậy $(C)$ có phương trình $(x-2)^2+(y+1)^2=10$.
Gọi $I(x;3-2x)\in\Delta$ là tâm của đường tròn $(C)$. Vì $(C)$ đi qua hai điểm $A(-1;0)$, $B(1;2)$ nên ta có
$IA=IB\Leftrightarrow IA^2=IB^2\Leftrightarrow(-1-x)^2+(0-3+2x)^2=(1-x)^2+(2-3+2x)^2$
$\Leftrightarrow(x+1)^2+(-3+2x)^2=(1-x)^2+(-1+2x)^2\Leftrightarrow-4x=-8\Leftrightarrow x=2$
Suy ra $I(2;-1)$. Do đó $(C)$ có bán kính $R=IA=\sqrt{(-1-2)^2+(0+1)^2}=\sqrt{10}$.
Vậy $(C)$ có phương trình $(x-2)^2+(y+1)^2=10$.
Cách 2:
+ Gọi $I$ là tâm của đường tròn $(C)$. Vì $(C)$ đi qua hai điểm $A(-1;0)$, $B(1;2)$ nên ta có $IA=IB$. Suy ra $I$ thuộc đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $AB$.
$d$ đi qua trung điểm $M(0;1)$ của đoạn thẳng $AB$ và nhận vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;2)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình
$2(x-0)+2(y-1)=0\Leftrightarrow2x+2y-2=0\Leftrightarrow x+y-1=0$.
+ Mà $I\in\Delta$ nên tọa độ của $I$ là nghiệm của hệ
$\left\{\begin{array}{l}x+y-1=0\\2x+y-3=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2\\y=-1\end{array}\right.$.
Suy ra $I(2;-1)$. Do đó $(C)$ có bán kính $R=IA=\sqrt{(-1-2)^2+(0+1)^2}=\sqrt{10}$.
Vậy $(C)$ có phương trình $(x-2)^2+(y+1)^2=10$.