Bài tập nâng cao · Bài 5
Dạng 1. Phương trình đường tròn
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 5
Phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng $\Delta:x-2y=0$, tiếp xúc với đường thẳng $\Delta':2x-y+2=0$ đồng thời đường tròn đi qua điểm $M(1;3)$ là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi tâm của đường tròn cần tìm là $I(2t;t)\in\Delta:x-2y=0$.
Theo giả thiết ta có: $MI=d(I;\Delta')\Leftrightarrow\sqrt{(2t-1)^2+(t-3)^2}=\dfrac{|2\cdot2t-t+2|}{\sqrt5}$
$\Leftrightarrow\sqrt{5t^2-10t+10}=\dfrac{|3t+2|}{\sqrt5}\Leftrightarrow8t^2-31t+23=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=1\\t=\dfrac{23}{8}\end{array}\right.$.
Với $t=1$ thì đường tròn cần tìm có tâm $I(2;1)$, bán kính $R=IM=\sqrt5$, và có phương trình là $(x-2)^2+(y-1)^2=5$.
Với $t=\dfrac{23}{8}$ thì đường tròn cần tìm có tâm $I\left(\dfrac{23}{4};\dfrac{23}{8}\right)$, bán kính $R=IM=\dfrac{17\sqrt5}{8}$, và có phương trình là $\left(x-\dfrac{23}{4}\right)^2+\left(y-\dfrac{23}{8}\right)^2=\dfrac{1445}{64}$.
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu của bài toán là
$(x-2)^2+(y-1)^2=5$ và $\left(x-\dfrac{23}{4}\right)^2+\left(y-\dfrac{23}{8}\right)^2=\dfrac{1445}{64}$.
Theo giả thiết ta có: $MI=d(I;\Delta')\Leftrightarrow\sqrt{(2t-1)^2+(t-3)^2}=\dfrac{|2\cdot2t-t+2|}{\sqrt5}$
$\Leftrightarrow\sqrt{5t^2-10t+10}=\dfrac{|3t+2|}{\sqrt5}\Leftrightarrow8t^2-31t+23=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}t=1\\t=\dfrac{23}{8}\end{array}\right.$.
Với $t=1$ thì đường tròn cần tìm có tâm $I(2;1)$, bán kính $R=IM=\sqrt5$, và có phương trình là $(x-2)^2+(y-1)^2=5$.
Với $t=\dfrac{23}{8}$ thì đường tròn cần tìm có tâm $I\left(\dfrac{23}{4};\dfrac{23}{8}\right)$, bán kính $R=IM=\dfrac{17\sqrt5}{8}$, và có phương trình là $\left(x-\dfrac{23}{4}\right)^2+\left(y-\dfrac{23}{8}\right)^2=\dfrac{1445}{64}$.
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu của bài toán là
$(x-2)^2+(y-1)^2=5$ và $\left(x-\dfrac{23}{4}\right)^2+\left(y-\dfrac{23}{8}\right)^2=\dfrac{1445}{64}$.