Dạng 6. Số điểm cực trị của hàm hợp không chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bài tập nâng cao Cực trị của hàm số · Bài 25
(Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hàm số bậc bốn $ f(x) $ có bảng biên thiên như sau:
Tìm số điểm cực trị của hàm số $ g(x)=x ^ { 4 } { \rm{ [ } }f(x-1){ \rm{ ] } } ^ { 2 } $
Xem lời giải
Lời giải
Ta có : $ f(x)=4x ^ { 4 } -8x ^ { 2 } +3\Rightarrow f'(x)=16x(x ^ { 2 } -1) $
Ta có $ g'(x)=2x ^ { 3 } .f(x-1).{ \rm{ [ } }2f(x-1)+x.f'(x-1){ \rm{ ] } } $
$ g'(x)=0\Leftrightarrow \left[ x ^ { 3 } =0 \\ f(x-1)=0 \\ 2f(x-1)+x.f'(x-1)=0 \right. $$ (1) \\ (2) \\ (3) $
Phương trình $ (1) $ có $ x=0 $ (nghiệm bội ba).
Phương trình $ (2) $ có cùng số nghiệm với phương trình $ f(x)=0 $ nên $ (2) $ có 4 nghiệm đơn.
Phương trình $ (3) $ có cùng số nghiệm với phương trình :
$ 2f(x)+(x+1).f'(x)=0\Leftrightarrow 2(4x ^ { 4 } -8x ^ { 2 } +3)+16x(x+1)(x ^ { 2 } -1)=0 $
$ \Leftrightarrow 24x ^ { 4 } +16x ^ { 3 } -32x ^ { 2 } -16x+6=0 $ có 4 nghiệm phân biệt.
Dễ thấy 9 nghiệm trên phân biệt nên hàm số $g(x)$ có tất cả 9 điểm cực trị.
