Bài tự luận Hàm số lượng giác · Bài 31

a) Ta có đồ thị của hàm số $y=\tan x$ với $x\in \left( -\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2} \right)\cup \left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$ như sau:

b) Ta có $\sqrt{3}\tan\left( x+\frac{\pi}{4} \right)+1=0$ khi và chỉ khi $\tan\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Đặt $t=x+\frac{\pi}{4}$. Vì $-\frac{7\pi}{4}\leq x\leq \frac{\pi}{4}$ nên $-\frac{3\pi}{2}\leq t\leq \frac{\pi}{2}$, hay $t\in \left[ -\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right]$.
Hàm số $y=\tan t$ xác định khi $t\neq \frac{\pi}{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kết hợp với điều kiện $t\in \left[ -\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right]$, suy ra $t\in \left( -\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2} \right)\cup \left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$.
Đồ thị hàm số $y=\tan t$ với $t\in \left( -\frac{3\pi}{2};-\frac{\pi}{2} \right)\cup \left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$ như sau:

Từ đồ thị hàm số trên, ta có:
$\tan t=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ khi và chỉ khi $t=-\frac{7\pi}{6}$ hoặc $t=-\frac{\pi}{6}$.
Do đó $x=-\frac{17\pi}{12}$ hoặc $x=-\frac{5\pi}{12}$.
c) Đặt $t=2x+\frac{\pi}{6}$. Vì $-\frac{5\pi}{6}\leq x\leq \frac{\pi}{6}$ nên $-\frac{3\pi}{2}\leq t\leq \frac{\pi}{2}$, hay $t\in \left[ -\frac{3\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right]$.
Tương tự câu $b$, từ đồ thị hàm số trên, ta có:
$\tan t\geq -\frac{\sqrt{3}}{3}$ khi và chỉ khi $-\frac{7\pi}{6}\leq t < -\frac{\pi}{2}$ hoặc $-\frac{\pi}{6}\leq t < \frac{\pi}{2}$.
Do đó $-\frac{2\pi}{3}\leq x < -\frac{\pi}{3}$ hoặc $-\frac{\pi}{6}\leq x < \frac{\pi}{6}$.