Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 12
Một giếng dầu ngoài khơi được đặt ở vị trí $A$ cách bờ biển 3 km, $B$ là vị trí trên bờ biển gần giếng dầu nhất. Nhà máy lọc dầu được đặt ở vị trí $C$ trên bờ biển, cách vị trí $B$ một khoảng 4 km (Hình).
Người ta dự định lắp đặt đường ống dẫn dầu gồm hai đoạn thẳng $AD$ và $DC$ ($D$ là một vị trí nằm giữa $B$ và $C$). Biết rằng mỗi mét đường ống đặt dưới biển có chi phí lắp đặt cao gấp đôi so với mỗi mét đường ống đặt trên bờ. Vị trí của $D$ như thế nào để giảm thiểu chi phí lắp đặt nhất?
Xem lời giải
Lời giải
Kí hiệu $x$ (km) là độ dài đoạn thẳng $BD$ ($0\leq x\leq4$). Giả sử chi phí lắp đặt cho mỗi kilômét đường ống đặt trên bờ là $a$. Chi phí để xây dựng đường ống là
$M=2a\sqrt{x^2+9}+a(4-x)=a\left(2\sqrt{x^2+9}+4-x\right)$.
Xét hàm số $y=2\sqrt{x^2+9}+4-x$ trên $[0;4]$.
Ta có: $y'=\frac{2x}{\sqrt{x^2+9}}-1$; $y'=0\Leftrightarrow2x=\sqrt{x^2+9}\Leftrightarrow4x^2=x^2+9\Leftrightarrow x^2=3\Leftrightarrow x=\sqrt{3}\in[0;4]$;
$y(0)=y(4)=10$; $y(\sqrt{3})=4+3\sqrt{3}\approx9,2$.
Vậy chi phí lắp đặt thấp nhất khi $x=\sqrt{3}\approx1,7$ km.
