Bài tập nâng cao · Bài 14
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 14
Cho tập $A=\left\{ \begin{array}{l} 0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8 \end{array} \right\}$. Từ tập $A$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau đôi một sao cho các số này lẻ và chữ số đứng vị trí thứ 4 luôn chia hết cho 3?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi số cần tìm là $\bar n=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}$.
Số $\bar n$ có tính chất:
Lẻ nên $a_{6} \in \left\{ \begin{array}{l} 1;\,3;\,5;\,7 \end{array} \right\}$.
$a_{4}$ chia hết cho 3 nên $a_{4} \in \left\{ \begin{array}{l} 0;\,3;\,6 \end{array} \right\}$.
Trường hợp 1:$a_{4} =0$
$a_{6}$ có 4 cách chọn.
Chọn 4 chữ số còn lại có $A_{7} ^{4}$.
$\Rightarrow$ có $4.A_{7} ^{4}$.
Trường hợp 2:$a_{4} =3$
$a_{6}$ có 3 cách chọn.
$a_{1}$ có 6 cách chọn.
Chọn 3 chữ số còn lại có $A_{6} ^{3}$.
$\Rightarrow$ có $3.6.A_{6} ^{3}$.
Trường hợp 3:$a_{4} =6$
$a_{6}$ có 4 cách chọn.
$a_{1}$ có 6 cách chọn.
Chọn 3 chữ số còn lại có $A_{6} ^{3}$.
$\Rightarrow$ có $4.6.A_{6} ^{3}$.
Vậy có $4.A_{7} ^{4}+3.6.A_{6} ^{3}+4.6.A_{6} ^{3}=8400$
Số $\bar n$ có tính chất:
Lẻ nên $a_{6} \in \left\{ \begin{array}{l} 1;\,3;\,5;\,7 \end{array} \right\}$.
$a_{4}$ chia hết cho 3 nên $a_{4} \in \left\{ \begin{array}{l} 0;\,3;\,6 \end{array} \right\}$.
Trường hợp 1:$a_{4} =0$
$a_{6}$ có 4 cách chọn.
Chọn 4 chữ số còn lại có $A_{7} ^{4}$.
$\Rightarrow$ có $4.A_{7} ^{4}$.
Trường hợp 2:$a_{4} =3$
$a_{6}$ có 3 cách chọn.
$a_{1}$ có 6 cách chọn.
Chọn 3 chữ số còn lại có $A_{6} ^{3}$.
$\Rightarrow$ có $3.6.A_{6} ^{3}$.
Trường hợp 3:$a_{4} =6$
$a_{6}$ có 4 cách chọn.
$a_{1}$ có 6 cách chọn.
Chọn 3 chữ số còn lại có $A_{6} ^{3}$.
$\Rightarrow$ có $4.6.A_{6} ^{3}$.
Vậy có $4.A_{7} ^{4}+3.6.A_{6} ^{3}+4.6.A_{6} ^{3}=8400$