Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 11
Người ta muốn thiết kế một lồng nuôi cá có bề mặt hình chữ nhật bao gồm phần mặt nước có diện tích bằng 54 m² và phần đường đi xung quanh với kích thước (đơn vị: m) như Hình.
Bề mặt của lồng có chiều dài và chiều rộng bằng bao nhiêu để diện tích phần đường đi là nhỏ nhất?
Xem lời giải
Lời giải
Do diện tích phần mặt nước bằng 54 m² nên $(a-3)(b-2)=54$ ($a>3,b>2$), suy ra $b=\frac{54}{a-3}+2$.
Diện tích phần đường đi xung quanh là: $S=ab-54=a\left(2+\frac{54}{a-3}\right)-54=2a+\frac{162}{a-3}$. Xét hàm số $S(a)=2a+\frac{162}{a-3}$ trên $(3;+\infty)$.
$S'(a)=2-\frac{162}{(a-3)^2}$; $S'(a)=0\Leftrightarrow(a-3)^2=81\Leftrightarrow a=12$ (do $a>3$).
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta thấy diện tích phần đường đi $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $a=12$ m. Khi đó, $b=8$ m.
