Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 11
(Bài toán khẩu phần ăn) Một chuyên gia dinh dưỡng dự định làm một thực đơn gồm hai loại thực phẩm chính $X$ và $Y$. Biết rằng:
- Cứ 100 gam thực phẩm $X$ chứa 2 đơn vị chất béo, 1 đơn vị carbohydrate và 4 đơn vị protein.
- Cứ 100 gam thực phẩm Y chứa 3 đơn vị chất béo, 3 đơn vị carbohydrate và 3 đơn vị protein.
Vị chuyên gia này muốn thức ăn phải cung cấp ít nhất 18 đơn vị chất béo, 12 đơn vị carbohydrate và 24 đơn vị protein. Chuyên gia này phải làm thực đơn thế nào để chi phí mua nguyên liệu là rẻ nhất và vẫn đảm bảo các yêu cầu ở trên? Biết rằng 100 gam thực phẩm X có giá 20 nghìn đồng và 100 gam thực phẩm Y có giá 25 nghìn đồng.
Xem lời giải
Lời giải
Bước 1. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số trăm gam thực phẩm $X$ và $Y$ trong thực đơn.
Bước 2. Chi phí mua thực phẩm là $F(x;y)=20x+25y$ (nghìn đồng).
Bước 3. Hệ bất phương trình ràng buộc $x$ và $y$ là $\left\{ \begin{array}{l} x\geq 0 \\ y\geq 0 \\ 2x+3y\geq 18 \\ x+3y\geq 12 \\ 4x+3y\geq 24 \end{array} \right.$
Bước 4. Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền tô màu, không là miền đa giác, trong Hình.
Ở đây $d_1: 2x+3y=18; d_2: x+3y=12; d_3: 4x+3y=24$.
Các điểm cực biên là $A(0;8), B(3;4), C(6;2), D(12;0)$.
Bước 5. Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của $F(x;y)$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình trên. Theo Nhận xét ở trên, $F(x;y)$ có giá trị nhỏ nhất trên $S$ và đạt được tại một trong các điểm cực biên của miền chấp nhận được. Tính giá trị của $F(x;y)$ tại các điểm cực biên ta được: $F(0;8)=200; F(3;4)=160; F(6;2)=170; F(12;0)=240$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $F(x;y)$ trên miền $S$ là 160 đạt được tại $B(3;4)$. Suy ra phương án tối ưu là $B(3;4)$ và giá trị tối ưu là 160.
Vậy chuyên gia thực phẩm cần mua 300 gam thực phẩm $X$ và 400 gam thực phẩm Y thì chi phí mua thực phẩm sẽ ít nhất mà vẫn đảm bảo yêu cầu về dinh dưỡng.
