Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 11
Một sao chổi đi qua hệ Mặt Trời theo quỹ đạo là một nhánh hypebol nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm, khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt Trời là $3\cdot 10^{8}$ km và tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6 (H.3.15).
Hãy lập phương trình chính tắc của hypebol chứa quỹ đạo, với 1 đơn vị đo trên mặt phẳng toạ độ ứng với $10^{8}$ km trên thực tế.
Xem lời giải
Lời giải
Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm $F_{1}$ của hypebol.
Gọi phương trình chính tắc của hypebol là $\frac{x^{2}}{a^{2} }-\frac{y^{2}}{b^{2} }=1(a>0, b>0)$.
Theo đề bài, ta có:
- Khoảng cách gần nhất từ sao chổi này đến tâm Mặt Trời là $3\cdot 10^{8}\,\text{km}\Rightarrow c-a=3$.
- Tâm sai của quỹ đạo hypebol là 3,6
$\Rightarrow \frac{c}{a}=3,6\Rightarrow \frac{a+3}{a}=3,6\Rightarrow a=\frac{15}{13}\Rightarrow a^{2}=\frac{225}{169} \\ \Rightarrow c=\frac{54}{13}\Rightarrow b^{2}=c^{2}-a^{2}=\frac{2691}{169}$
Vậy phương trình chính tắc của hypebol đã cho là $\frac{169x^{2}}{225}-\frac{169y^{2}}{2691}=1$.
