Bài tự luận · Bài 12
Dạng 1. Xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước
Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 12
(KNTT10) Cho tam giác $ABC$.
a) Tìm điểm $K$ thoả mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=0$.
b) Tìm tập hợp các điểm $M$ thoả mãn $\|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\|=\|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\|$.
a) Tìm điểm $K$ thoả mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=0$.
b) Tìm tập hợp các điểm $M$ thoả mãn $\|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\|=\|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\|$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Giả sử tìm được điểm $K$ thoả mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=0$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AC$, gọi $J$ là trung điểm của $BC$. Khi đó
$\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC})+2(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC})=2\overrightarrow{KI}+4\overrightarrow{KJ}$ (1)
Lấy điểm $L$ thuộc đoạn $IJ$ sao cho $LI=2LJ$. Khi đó, theo kết quả Ví dụ 2, ta được $\overrightarrow{LI}+2\overrightarrow{LJ}=0$. Suy ra $\overrightarrow{KI}+2\overrightarrow{KJ}=3\overrightarrow{KL}$. Từ đó và (1) suy ra $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=0\Leftrightarrow2(\overrightarrow{KI}+2\overrightarrow{KJ})=0\Leftrightarrow6\overrightarrow{KL}=0$, điều này tương đương với $K\equiv L$.
b) Với mỗi điểm $M$ ta có $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}$. (2)
Theo kết quả phần a), $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{ML}$. (3)
Từ (2) và (3) suy ra
$\|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\|=\|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\|\Leftrightarrow6\|\overrightarrow{ML}\|=\|\overrightarrow{CB}\|\Leftrightarrow LM=\frac{BC}{6}$.
Từ đó suy ra tập hợp tất cả các điểm $M$ cần tìm là đường tròn tâm $L$, bán kính bằng $\frac{BC}{6}$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AC$, gọi $J$ là trung điểm của $BC$. Khi đó
$\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC})+2(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC})=2\overrightarrow{KI}+4\overrightarrow{KJ}$ (1)
Lấy điểm $L$ thuộc đoạn $IJ$ sao cho $LI=2LJ$. Khi đó, theo kết quả Ví dụ 2, ta được $\overrightarrow{LI}+2\overrightarrow{LJ}=0$. Suy ra $\overrightarrow{KI}+2\overrightarrow{KJ}=3\overrightarrow{KL}$. Từ đó và (1) suy ra $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}+3\overrightarrow{KC}=0\Leftrightarrow2(\overrightarrow{KI}+2\overrightarrow{KJ})=0\Leftrightarrow6\overrightarrow{KL}=0$, điều này tương đương với $K\equiv L$.
b) Với mỗi điểm $M$ ta có $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{CB}$. (2)
Theo kết quả phần a), $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=6\overrightarrow{ML}$. (3)
Từ (2) và (3) suy ra
$\|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\|=\|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\|\Leftrightarrow6\|\overrightarrow{ML}\|=\|\overrightarrow{CB}\|\Leftrightarrow LM=\frac{BC}{6}$.
Từ đó suy ra tập hợp tất cả các điểm $M$ cần tìm là đường tròn tâm $L$, bán kính bằng $\frac{BC}{6}$.