Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 11

a) Giả sử tìm được điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=0$.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ và $J$ là trung điểm của $IC$. Khi đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.
Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MJ}$.
Suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=0\Leftrightarrow4\overrightarrow{MJ}=0\Leftrightarrow\overrightarrow{MJ}=0$ hay $M\equiv J$.
b) Giả sử tìm được điểm $N$ thoả mãn $4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=0$.
Gọi $K$ là trung điểm của $CA$. Khi đó
$4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=2(\overrightarrow{NA}-\overrightarrow{NB})+(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NC})+\overrightarrow{NA}=2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{NK}+\overrightarrow{NA}$.

Gọi $J$ là điểm thoả mãn $2\overrightarrow{JK}+\overrightarrow{JA}=0$.
Khi đó $2\overrightarrow{NK}+\overrightarrow{NA}=3\overrightarrow{NJ}$.
Do đó $4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=2\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{NJ}$.
Từ đó $4\overrightarrow{NA}-2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=0$
$\Leftrightarrow2\overrightarrow{BA}+3\overrightarrow{NJ}=0\Leftrightarrow\overrightarrow{NJ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ (1)
Lấy điểm $L$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $\overrightarrow{AL}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. Khi đó $(1)\Leftrightarrow\overrightarrow{NJ}=\overrightarrow{AL}$.
Từ đó, do $A,L,J$ không thẳng hàng, nên tứ giác $ALJN$ là một hình bình hành.
Vậy, điểm $N$ cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ALJN$.