Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 10

a) Giả sử tìm được điểm $M$ thoả mãn. Khi đó, với $I$ là trung điểm $AC$, ta có
$\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})-2(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC})=2\overrightarrow{MI}-2\overrightarrow{CB}=2(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{CB})$.
Khi đó $\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=0\Leftrightarrow2(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{CB})=0\Leftrightarrow\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{CB}$.

Do $B,C,I$ không cùng thuộc một đường thẳng, nên điều này tương đương với tứ giác $BCMI$ là một hình bình hành.
Vậy điểm $M$ cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành dựng trên hai cạnh $BC,BI$ tức là $M$ đối xứng với $B$ qua trung điểm của $IC$.
b) Gọi $J$ là trung điểm của $IC$.

Khi đó $JA=3JC$ và do đó $\overrightarrow{JA}=-3\overrightarrow{JC}$.
Từ đó suy ra
$\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=(\overrightarrow{NJ}+\overrightarrow{JA})+3(\overrightarrow{NJ}+\overrightarrow{JC})=4\overrightarrow{NJ}$.
Do đó $\|\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}\|=4\|\overrightarrow{NB}\|\Leftrightarrow4\|\overrightarrow{NJ}\|=4\|\overrightarrow{NB}\|\Leftrightarrow\|\overrightarrow{NJ}\|=\|\overrightarrow{NB}\|$,
tức là $N$ thuộc trung trực của đoạn $JB$.
Vậy tập hợp các điểm $N$ cần tìm là đường trung trực của đoạn $JB$.