Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) $y=f\left( x \right)=\tan x+\cot x$
b) $y=f\left( x \right)=\sin\left( 2x+\frac{9\pi}{2} \right)$
c) $f\left( x \right)=\frac{\sin^{2020n}x+2020}{\cos x},\,n\in \mathbb{Z}$

Question

DẠNG 3. TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số, khi đó $*$ Nếu $D$ là tập đối xứng (tức $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D$), thì ta thực hiện tiếp bước 2. $*$ Nếu $D$ không phải tập đối xứng(tức là $\exists x\in D$ mà $-x
otin D$) thì ta kết luận hàm số không chẵn không lẻ. Bước 2: Xác định $f\left( -x ight)$: $*$ Nếu $f\left( -x ight)=f\left( x ight),\forall x\in D$ thì kết luận hàm số là hàm số chẵn. $*$ Nếu $f\left( -x ight)=-f\left( x ight),\forall x\in D$ thì kết luận hàm số là hàm số lẻ. $*$ Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ. Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản: 1, Hàm số $y=\sin x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}$. 2, Hàm số $y=\cos x$ là hàm số chẵn trên $D=\mathbb{R}$. 3, Hàm số $y=	an x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} \frac{\pi}{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \end{array} ight\}$. 4, Hàm số $y=\cot x$ là hàm số lẻ trên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \begin{array}{l} k\pi \mid k\in \mathbb{Z} \end{array} ight\}$. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau a) $y=f\left( x ight)=	an x+\cot x$ b) $y=f\left( x ight)=\sin\left( 2x+\frac{9\pi}{2} ight)$ c) $f\left( x ight)=\frac{\sin^{2020n}x+2020}{\cos x},\,n\in \mathbb{Z}$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{k\pi}{2}\mid k\in \mathbb{Z} ight\}$ là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$ Ta có $\forall x\in D$: $f\left( -x ight)=	an\left( -x ight)+\cot\left( -x ight)=-	an x-\cot x=-f\left( x ight)$ Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ. b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$ là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$ NX: $f\left( x ight)=\sin\left( 2x+\frac{9\pi}{2} ight)=\sin\left( 2x+\frac{\pi}{2} ight)=\cos\left( 2x ight).$ Ta có $\forall x\in D$: $f\left( -x ight)=\cos\left( -2x ight)=\cos\left( 2x ight)=f\left( x ight).$ Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn. c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ \frac{\pi}{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z} ight\}$ là tập đối xứng do đó $\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\,.$ + NX: $\sin^{2020n}\left( -x ight)=\left( -\sin x ight)^{2020n}=\sin^{2020n}\left( x ight),\,\,\forall n\in \mathbb{Z}\setminus \left\{ 0 ight\}$ Do đó $\forall x\in D$: $f\left( -x ight)=\frac{\sin^{2020n}\left( -x ight)+2020}{\cos\left( -x ight)}=\frac{\sin^{2020n}\left( x ight)+2020}{\cos\left( x ight)}=f\left( x ight).$ Suy ra hàm số là hàm số chẵn $\forall n\in \mathbb{Z}\setminus \left\{ 0 ight\}$. + Với $n=0$ thì $\sin^{2020n}\left( x ight)=1$. Do đó $\forall x\in D$: $f\left( -x ight)=\frac{2021}{\cos\left( -x ight)}=\frac{2021}{\cos\left( x ight)}=f\left( x ight).$ Suy ra hàm số là hàm số chẵn với $n=0$. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn $\forall n\in \mathbb{Z}$.

Bài tập nâng cao Hàm số lượng giác · Bài 12