Cho tờ giấy hình chữ nhật $ ABCD $ như Hình 1, với $ AB=3,AD=2\sqrt[] { 7 } $. Gọi $ M $ là trung điểm của đoạn $ AD $. Gập tờ giấy theo hai đường thẳng $ BM $ và $ CM $ sao cho hai điểm $ A $ và $ D $ trùng nhau tại một điểm $ P $ như Hình 2. Khi đó, gọi $ θ $ là góc giữa hai mặt phẳng $ PMB $ và $ BCM $. (Không xét độ dày của tờ giấy) Giá trị của $ \cosθ $ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Kẻ $ MN⊥BC $ tại $ N $. Khi đó kẻ $ PH⊥MN $ (dễ chứng minh được $ PH⊥(MBC) $) Kẻ $ PE⊥MB $ tại $ E $, suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} MB⊥PE \\ MB⊥PH \end{array} \right.⇒MB⊥(EPH)→\cosθ=\frac { HE } { PE }\,(*) $ Xét tam giác vuông $ AMB $ có: $ AB.AM=BM.AE⇔3.\sqrt[] { 7 }=4AE⇒AE=\frac { 3 } { 4 }\sqrt[] { 7 } $ Ta có $ ΔBAM∽ΔAEM $ nên $ \frac { BA } { AE }=\frac { BM } { AM }=\frac { AM } { EM }⇔\frac { 4 } { \sqrt[] { 7 } }=\frac { \sqrt[] { 7 } } { EM }⇒EM=\frac { 7 } { 4 } $ Dễ thấy $ \widehat { AHM }= \widehat { AME } $ và $ \widehat { HAM }= \widehat { ABM }= \widehat { BMH } $ nên $ \frac { BA } { AM }=\frac { EM } { EH }⇒EH=\frac { 7 } { 12 }\sqrt[] { 7 } $ Từ (*) ta có: $ \cosθ=\frac { HE } { PE }\,=\frac { \frac { 7\sqrt[] { 7 } } { 12 } } { \frac { 3\sqrt[] { 7 } } { 4 } }=\frac { 7 } { 9 }≈0,78 $