(CTST12) Xét hàm số $y=x^3-3x^2$ có đồ thị được cho ở Hình. [IMAGE:question_images/12-CD5. HAM SO BAC 3/B. TU LUAN - DA/image117.png] a) Gọi $x_0$ là nghiệm của phương trình $y''=0$, tìm toạ độ của điểm $I\left(x_0;f(x_0) ight)$. b) Với $t$ tuỳ ý $(t
eq0)$, gọi $M$ và $M'$ lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ $x_M=x_0-t$ và $x_{M'}=x_0+t$. Chứng tỏ rằng tung độ điểm $I$ chính là trung bình cộng của $y_M$ và $y_{M'}$. Từ đó, suy ra rằng hai điểm $M$ và $M'$ đối xứng với nhau qua $I$.

Question

Dạng 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (CTST12) Xét hàm số $y=x^3-3x^2$ có đồ thị được cho ở Hình. [IMAGE:question_images/12-CD5. HAM SO BAC 3/B. TU LUAN - DA/image117.png] a) Gọi $x_0$ là nghiệm của phương trình $y''=0$, tìm toạ độ của điểm $I\left(x_0;f(x_0)ight)$. b) Với $t$ tuỳ ý $(t
eq0)$, gọi $M$ và $M'$ lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ $x_M=x_0-t$ và $x_{M'}=x_0+t$. Chứng tỏ rằng tung độ điểm $I$ chính là trung bình cộng của $y_M$ và $y_{M'}$. Từ đó, suy ra rằng hai điểm $M$ và $M'$ đối xứng với nhau qua $I$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Ta có $y'=3x^2-6x$ và $y''=6x-6$. Phương trình $y''=0$ có nghiệm $x=1$ nên điểm $I$ có tọa độ $(1;-2)$. b) Ta có $y_M+y_{M'}=\left[(1-t)^3-3(1-t)^2\right]+\left[(1+t)^3-3(1+t)^2\right]$ $=\left[(1-t)^3+(1+t)^3\right]-3\left[(1-t)^2+(1+t)^2\right]$ $=2+6t^2-3(2+2t^2)=-4$ Suy ra $\frac{y_M+y_{M'}}{2}=-2=y(x_0)$. Mặt khác $x_M+x_{M'}=(1-t)+(1+t)=2$. Suy ra $\frac{x_M+x_{M'}}{2}=1=x_0$. Vậy $I(1;-2)$ là trung điểm của $MM'$ hay $M$ và $M'$ luôn đối xứng với nhau qua $I$.

Bài tự luận Hàm số bậc ba · Bài 7