Hai cây cột, một cây cao 12 m và cây còn lại cao 28 m, đứng cách nhau 30 m. Chúng được cố định bằng hai sợi dây cáp gắn vào một cây cọc giữa hai cây cột (Hình). Cần đặt cây cọc ở đâu trên mặt đất để sử dụng ít dây cáp nhất, biết rằng chân của các cây cột và chân của cây cọc là thẳng hàng?

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Gọi $L$ (m) là tổng chiều dài của hai sợi dây cáp. Theo định lí Pythagore, ta có: $L=y+z=\sqrt{x^2+12^2}+\sqrt{(30-x)^2+28^2}=\sqrt{x^2+144}+\sqrt{x^2-60x+1684}, 0\leq x\leq 30$. Xét hàm $L(x)=\sqrt{x^2+144}+\sqrt{x^2-60x+1684}, 0\leq x\leq 30$. Khi đó $L'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+144}}+\frac{x-30}{\sqrt{x^2-60x+1684}}$. $L'(x)=0\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x^2+144}}+\frac{x-30}{\sqrt{x^2-60x+1684}}=0\ \Leftrightarrow x\sqrt{x^2-60x+1684}=(30-x)\sqrt{x^2+144}\ \Leftrightarrow x^2\left(x^2-60x+1684ight)=(30-x)^2\left(x^2+144ight)\ \Leftrightarrow 640x^2+8640x-129600=0\Leftrightarrow x=9$ (do $0\leq x\leq 30$). Vì $L(0)\approx 53,04; L(9)=50; L(30)\approx 60,31$ nên $L(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=9$. Vậy ta cần đặt cây cọc cách cây cột cao 12 m một khoảng 9 m.

Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 43