Dạng 2. Biểu thị một vecto theo một vectơ khác
Biểu thị một vectơ theo một vectơ cùng phương
Phương pháp: Sử dụng tính chất sau:
- Nếu hai vectơ $ a $ và $ b(b\neq 0) $ cùng hướng và $ \|a\|=m.\|b\| $ thì $ a=mb $.
- Nếu hai vectơ $ a $ và $ b(b\neq 0) $ ngược hướng và $ \|a\|=m.\|b\| $ thì $ a=-mb $.
Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Phương pháp:
- Sử dụng định nghĩa, tính chất của các phép toán: phép cộng vectơ, phép trừ vectơ, phép nhân một số với một vectơ.
- Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác, hình bình hành.
Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 16
(CD10) Cho tam giác $ABC$. Lấy các điểm $D,E,H$ thoả mãn $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$
a) Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DH},\overrightarrow{HE}$ theo các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.
b) Chứng minh rằng ba điểm $D,H,E$ thẳng hàng.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có:
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{5}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{6}{5}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-(\frac{6}{5}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{5}\overrightarrow{AC})=-\frac{8}{15}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AH}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$
b) Từ các đẳng thức trên, ta có: $\overrightarrow{HE}=\frac{5}{4}(-\frac{8}{15}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC})=\frac{5}{4}\overrightarrow{DH}$.
Vậy hai vectơ $\overrightarrow{HE},\overrightarrow{DH}$ cùng phương nên $D,H,E$ thẳng hàng.
Nhận xét: Nếu bỏ câu $a$) thì việc chứng minh câu $b$) trở nên khó khăn.
Khi đó, ta chuyển bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng về bài toán chứng minh hai vectơ cùng phương, chuyển bài toán chứng minh hai vectơ cùng phương về bài toán biểu diễn hai vectơ theo hai vectơ (không cùng phương) cho trước.
