(CD11) Cho hình tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $CD$ và $M,N$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD,ACD$.
a) Chứng minh rằng các điểm $M,N$ thuộc mặt phẳng $(ABI)$.
b) Gọi $G$ là giao điểm của $AM$ và $BN$. Chứng minh rằng: $\frac{GM}{GA}=\frac{GN}{GB}=\frac{1}{3}$.
c) Gọi $P,Q$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $DAB,ABC$. Chứng minh rằng các đường thẳng $CP,DQ$ cùng đi qua điểm $G$ và $\frac{GP}{GC}=\frac{GQ}{GD}=\frac{1}{3}$.

Question

Phương pháp giải một số bài toán thường gặp DẠNG 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng? Ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm. Về dạng này điểm chung thứ nhất thường dễ tìm. Điểm chung còn lại các bạn phải tìm hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng, đồng thời chúng lại thuộc mặt phẳng thứ ba và chúng không song song. Giao điểm của hai đường thẳng đó là điểm chung thứ hai. Các bạn phải nhớ kỹ: Giao tuyến là đường thẳng chung của hai mặt phẳng, có nghĩa là giao tuyến là đường thẳng vừa thuộc mặt phẳng này vừa thuộc mặt phẳng kia. DẠNG 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG Muốn tìm giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha )$, có hai cách làm như sau: Cách 1: Những bài đơn giản, có sẵn một mặt phẳng $(\beta )$ chứa đường thẳng $d$ và một đường thẳng $a$ thuộc mặt phẳng $(\alpha )$. Giao điểm của hai đường thẳng không song song $d$ và $a$ chính là giao điểm của $d$ và mặt phẳng $(\alpha )$. [IMAGE:question_images/11-10. DUONG THANG, MP TRONG KG/B. TU LUAN/image8.png] Cách 2: Tìm một mặt phẳng $(\beta )$ chứa đường thẳng $d$, sao cho dễ dàng tìm giao tuyến với mặt phẳng $(\alpha )$. Giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha )$ chính là giao điểm của đường thẳng $d$ và giao tuyến $a$ vừa tìm. (CD11) Cho hình tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $CD$ và $M,N$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD,ACD$. a) Chứng minh rằng các điểm $M,N$ thuộc mặt phẳng $(ABI)$. b) Gọi $G$ là giao điểm của $AM$ và $BN$. Chứng minh rằng: $\frac{GM}{GA}=\frac{GN}{GB}=\frac{1}{3}$. c) Gọi $P,Q$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $DAB,ABC$. Chứng minh rằng các đường thẳng $CP,DQ$ cùng đi qua điểm $G$ và $\frac{GP}{GC}=\frac{GQ}{GD}=\frac{1}{3}$. [IMAGE:question_images/11-10. DUONG THANG, MP TRONG KG/B. TU LUAN/image626.png]

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Do $M$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ nên $M\in BI$. Suy ra $M\in (ABI)$. Tương tự, $N\in AI$ nên $N\in (ABI)$. Vậy các điểm $M,N$ thuộc mặt phẳng $(ABI)$. b) Do $M,N$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $BCD,ACD$ nên $\frac{IM}{MB}=\frac{IN}{NA}=\frac{1}{2}$. Xét tam giác $ABI$, ta có: $\frac{IM}{MB}=\frac{IN}{NA}$ nên theo định lí Thalès đảo, suy ra $MN\parallel AB$. Theo định lí Thalès trong tam giác, ta có: $\frac{GM}{GA}=\frac{GN}{GB}=\frac{MN}{AB}=\frac{IM}{IB}=\frac{1}{3}$. c) Chứng minh tương tự câu b, ta có $AM$ và $DQ$ cắt nhau tại điểm $G'$ và $\frac{G'M}{G'A}=\frac{G'Q}{G'D}=\frac{1}{3}$. Suy ra $G'\equiv G$. Do đó, $DQ$ đi qua $G$ và $\frac{GQ}{GD}=\frac{1}{3}$. Chứng minh tương tự, ta có $CP$ đi qua $G$ và $\frac{GP}{GC}=\frac{1}{3}$.

Bài tự luận Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian · Bài 25