Dạng 7. Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 52
(Sở Vũng Tàu 2023) Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=x(x-1)^{2}\left( x^{2}+mx+9 \right)$ với mọi $x\in \mathbb{R},m$ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số $g(x)=f(3-x)$ đồng biến trên khoảng $(3;+\infty)$?
Xem lời giải
Lời giải
TXĐ: $x\in (3;+\infty)$
$g'(x)=-f'(3-x)$
Để hàm $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(3;+\infty)$ thì $g'(x)\geq 0,\quad \forall x\in (3;+\infty)$
$\Leftrightarrow -f'(3-x)\geq 0\quad \forall x\in (3;+\infty)$
$\Leftrightarrow f'(3-x)\leq 0\quad \forall x\in (3;+\infty)\quad (*)$
Đặt $t=3-x\quad t\in (-\infty ;0)$ thì $(*)\Leftrightarrow f'(t)\leq 0\quad \forall t<0$
$\Leftrightarrow f'(t)=t(t-1)^{2}\left( t^{2}+mt+9 \right)\leq 0,\quad \forall t<0$
$\Leftrightarrow t^{2}+mt+9\geq 0\quad \forall t<0$
$\Leftrightarrow mt\geq -9-t^{2}\quad \forall t<0$
$\Leftrightarrow m\leq -\frac{9}{t}-t=h(t)\quad \forall t<0$
Xét hàm số $h(t)=-\frac{9}{t}-t$
$h'(t)=\frac{9}{t^{2}}-1$
$h'(t)=0\Leftrightarrow \frac{9}{t^{2}}-1=0\Leftrightarrow t^{2}=9\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=3(L) \\ t=-3(N) \end{array} \right.$
BBT:
Dựa vào BBT: thì $m\leq \min h(t)=6$. Vậy $m=\{1;2;3;4;5;6\}$.
