Bài tập nâng cao · Bài 51
Dạng 7. Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 51
(Chuyên Quang Trung – Bình Phước 2023) Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R},f(0)=3$ và đồ thị hàm số $y=f'(x)$ như hình vẽ.
Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để hàm số $g(x)=\left| 2f(x)+x^{2}-2mx+2m \right|$ đồng biến trên $(0;1)$?
Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để hàm số $g(x)=\left| 2f(x)+x^{2}-2mx+2m \right|$ đồng biến trên $(0;1)$?
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $h(x)=2f(x)+x^{2}-2mx+2m\Rightarrow h'(x)=2f'(x)+2x-2m$.
Hàm số $g(x)=\left| 2f(x)+x^{2}-2mx+2m \right|$ đồng biến trên $(0;1)$ khi và chỉ khi:
TH1: $\left\{ \begin{array}{l} h(0)=6+2m\geq 0 \\ h'(x)\geq 0,\forall x\in (0;1) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\geq -3 \\ m\leq f'(x)+x,\forall x\in (0;1) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\geq -3 \\ m\leq -1 \end{array} \right.$.
TH2: $\left\{ \begin{array}{l} h(0)=6+2m\leq 0 \\ h'(x)\leq 0,\forall x\in (0;1) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\leq -3 \\ m\geq f'(x)+x,\forall x\in (0;1) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\leq -3 \\ m\geq 0\ (L) \end{array} \right.$.
$\Rightarrow m\in \{-3;-2;-1\}$.
Hàm số $g(x)=\left| 2f(x)+x^{2}-2mx+2m \right|$ đồng biến trên $(0;1)$ khi và chỉ khi:
TH1: $\left\{ \begin{array}{l} h(0)=6+2m\geq 0 \\ h'(x)\geq 0,\forall x\in (0;1) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\geq -3 \\ m\leq f'(x)+x,\forall x\in (0;1) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\geq -3 \\ m\leq -1 \end{array} \right.$.
TH2: $\left\{ \begin{array}{l} h(0)=6+2m\leq 0 \\ h'(x)\leq 0,\forall x\in (0;1) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\leq -3 \\ m\geq f'(x)+x,\forall x\in (0;1) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m\leq -3 \\ m\geq 0\ (L) \end{array} \right.$.
$\Rightarrow m\in \{-3;-2;-1\}$.