Dạng 7. Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 50
(Sở Hải Phòng 2023) Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f(1)=2$. Hàm số $y=f'(x)$ có đồ thị là đường cong như hình dưới đây.
Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ để hàm số $y=\left| 4f(\sin x)+\cos 2x-m \right|$ nghịch biến trên $\left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$?
Xem lời giải
Lời giải
Xét hàm số $y=4f(\sin x)+\cos 2x-m$
Có $y'=\cos x\left[ 4f'(\sin x)-4\sin x \right]$
Ta thấy, $\cos x>0,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$
Đồ thị của hàm số $y=f'(x)$ và $y=x$ vẽ trên cùng hệ trục tọa độ như sau:
Từ đồ thị ta có $f'(x)<x,\forall x\in (0;1)\Rightarrow f'(\sin x)<\sin x,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$
Suy ra $y'<0,\forall x\in \left( 0;\frac{\pi}{2} \right)$.
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên thì ycbt $\Leftrightarrow 4f(1)-1-m\geq 0\Leftrightarrow m\leq 4f(1)-1=7$.
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;\ldots;7\}$.
