Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 49

Từ đồ thị ta xác định được $y=f'(5-2x)=3x^{2}-12x+6$.
Đặt $5-2x=t\Rightarrow x=\frac{5-t}{2}$. Khi đó:
$3x^{2}-12x+6=\frac{3}{4}(5-t)^{2}-6(5-t)+6=\frac{3}{4}t^{2}-\frac{3}{2}t-\frac{21}{4}=f'(t).$
$f'(t)<0\Leftrightarrow 1-2\sqrt{2}<t<1+2\sqrt{2}\Leftrightarrow 1-2\sqrt{2}<5-2x<1+2\sqrt{2}\Leftrightarrow 2-\sqrt{2}<x<2+\sqrt{2}.$
Hàm số $y=g(x)=f\left( 2x^{2}+2x+m \right)$ nghịch biến trên khoảng $(0;1)$.
$\Rightarrow g'(x)=(4x+2)f'\left( 2x^{2}+2x+m \right)<0,\forall x\in (0;1)\Leftrightarrow f'\left( 2x^{2}+2x+m \right)<0,\forall x\in (0;1)$
(do $4x+2>0,\forall x\in (0;1)$)
$\Leftrightarrow 2-\sqrt{2}<2x^{2}+2x+m<2+\sqrt{2},\forall x\in (0;1)\Leftrightarrow -m-\sqrt{2}<2x^{2}+2x-2<-m+\sqrt{2},\forall x\in (0;1).$
Đặt $h(x)=2x^{2}+2x-2\Rightarrow h'(x)=4x+2>0,\forall x\in (0;1)$.
BBT:

Điều kiện bài toán $\Leftrightarrow -m-\sqrt{2}<0<1<-m+\sqrt{2}\Leftrightarrow -\sqrt{2}<m<\sqrt{2}-1\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}} m\in \{-1;0\}$.
Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài toán.