Bài tự luận · Bài 26
Dạng 2. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Bài tự luận Hai mặt phẳng song song · Bài 26
(CTST11) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $ABCD,AD\parallel BC,AD=2BC$. Gọi $E,F,I$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA,AD,SD$.
a) Chứng minh: $(BEF)\parallel(SCD)$ và $CI\parallel(BEF)$.
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$.
c) Tìm giao điểm $K$ của $FI$ với giao tuyến vừa tìm được ở câu $b$, từ đó chứng minh $(SBF)\parallel(KCD)$.
a) Chứng minh: $(BEF)\parallel(SCD)$ và $CI\parallel(BEF)$.
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$.
c) Tìm giao điểm $K$ của $FI$ với giao tuyến vừa tìm được ở câu $b$, từ đó chứng minh $(SBF)\parallel(KCD)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $EF\parallel SD$ (đường trung bình của tam giác $SAD$).
Suy ra $EF\parallel(SCD)$ (vì $SD\subset(SCD)$).
Ta có $BF\parallel CD$ ($BFDC$ là hình bình hành), suy ra $BF\parallel(SCD)$ (vì $CD\subset(SCD)$).
Mặt khác $EF,BF\subset(BEF);EF\cap BF=F$.
Vậy $(BEF)\parallel(SCD)$.
Ta có $EI\parallel BC$ (vì cùng song song với $AD$) và $EI=BC=\frac{1}{2}AD$ (vì $EI$ là đường trung bình của tam giác $SAD$ và $AD=2BC$).
Ta có $EICB$ là hình bình hành nên $CI\parallel BE$.
Mặt khác $BE\subset(BEF)$ suy ra $CI\parallel(BEF)$.
b) Ta có $BC\parallel AD$, suy ra giao tuyến của $(SBC)$ và $(SAD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và $d\parallel BC\parallel AD$.
c) Xét tam giác $SAD$ có $I$ là trung điểm của $SD,F$ là trung điểm của $AD$.
Suy ra $IF$ là đường trung bình của tam giác $SAD$, suy ra $IF\parallel SA$ suy ra $KF\parallel SA$. (1)
Mặt khác, $SK\parallel AF$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $SKFA$ là hình bình hành. Suy ra $SK=AF$.
Suy ra $SK=FD$ (vì $AF=FD$). Tứ giác $SKDF$ có $SK=FD$ và $SK\parallel FD$, nên $SKDF$ là hình bình hành. Suy ra $SF\parallel KD$.
Ta có $SF\parallel KD;BF\parallel DC;F=SF\cap BF;D=KD\cap CD$.
Suy ra $(SBF)\parallel(KCD)$.