Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 9
Một công ty sơn sản xuất hai loại sơn là sơn nội thất và sơn ngoài trời. Nguyên liệu để sản xuất gồm hai loại $X$ và $Y$ với trữ lượng lần lượt là 6 tấn và 8 tấn. Để sản xuất một tấn sơn nội thất cần 2 tấn nguyên liệu $X$ và 1 tấn nguyên liệu $Y$. Để sản xuất một tấn sơn ngoài trời cần 1 tấn nguyên liệu $X$ và 2 tấn nguyên liệu $Y$. Qua nghiên cứu thị trường, công ty thấy rằng nhu cầu sơn nội thất không nhiều hơn sơn ngoài trời quá 1 tấn và nhu cầu cực đại của sơn nội thất là 2 tấn. Giá bán một tấn sơn nội thất là 60 triệu đồng, một tấn sơn ngoài trời là 30 triệu đồng. Công ty cần sản xuất mỗi loại sơn bao nhiêu tấn để doanh thu lớn nhất?
Xem lời giải
Lời giải
Bước 1. Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số tấn sơn nội thất và sơn ngoài trời công ty cần sản xuất.
Bước 2. Doanh thu của công ty là: $F(x;y)=60x+30y$ (triệu đồng).
Bước 3. Hệ bất phương trình bậc nhất ràng buộc $x$ và $y$ là
$\left\{ \begin{array}{l} 0\leq x\leq 2 \\ y\geq 0 \\ 2x+y\leq 6 \\ x+2y\leq 8 \\ x\leq y+1 \end{array} \right.$
Bước 4. Miền nghiệm của hệ bất phương trình này là miền lục giác $OABCDE$ trong Hình.
Các điểm cực biên là: $O(0;0), A(1;0), B(2;1), C(2;2), D\left(\frac{4}{3};\frac{10}{3}\right), E(0;4)$.
Bước 5. Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của $F(x;y)$ trên miền lục giác $OABCDE$.
Ta biết rằng, $F(x;y)$ đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của lục giác. Tính giá trị của $F(x;y)$ tại các đỉnh của đa giác ta được: $F(0;0)=0; F(1;0)=60; F(2;1)=150; F(2;2)=F\left(\frac{4}{3};\frac{10}{3}\right)=180; F(0;4)=120$.
Chú ý rằng vì đường thẳng $CD$ có phương trình $2x+y=6$, nên với mọi điểm $M(x;y)$ thuộc đường thẳng $CD$ ta đều có $F(x;y)=60x+30y=30(2x+y)=30\cdot 6=180$. Vậy biểu thức $F(x;y)$ đạt giá trị lớn nhất bằng 180 tại mọi điểm $M(x;y)$ thuộc đoạn thẳng $CD$. Như vậy bài toán có vô số phương án tối ưu, đó là tọa độ của tất cả các điểm thuộc đoạn thẳng $CD$. Từ đó suy ra, công ty cần sản xuất $x$ tấn sơn nội thất và $y=6-2x$ tấn sơn ngoài trời với $\frac{4}{3}\leq x\leq 2$ thì doanh thu lớn nhất.
