Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 9

Bán kính của nửa hình tròn là $\frac{x}{2}$.

Do diện tích của mặt cắt ngang bằng 2 m² nên $xy+\frac{\pi}{2}\left(\frac{x}{2}\right)^2=2\Rightarrow y=\frac{1}{x}\left(2-\frac{\pi x^2}{8}\right)=\frac{2}{x}-\frac{\pi x}{8}$.
Do $x,y>0$ nên $\frac{2}{x}-\frac{\pi x}{8}>0\Rightarrow x^2<\frac{16}{\pi}\Rightarrow0<x<\frac{4}{\sqrt{\pi}}$.
Chu vi của mặt cắt ngang (tính theo m) là
$P=\frac{\pi x}{2}+x+2y=\left(\frac{\pi}{2}+1\right)x+2\left(\frac{2}{x}-\frac{\pi x}{8}\right)=\left(1+\frac{\pi}{4}\right)x+\frac{4}{x}$ $\left(0<x<\frac{4}{\sqrt{\pi}}\right)$.
Xét hàm số $P(x)=\left(1+\frac{\pi}{4}\right)x+\frac{4}{x}$ trên $\left(0;\frac{4}{\sqrt{\pi}}\right)$.
Ta có: $P'(x)=1+\frac{\pi}{4}-\frac{4}{x^2}$;
$P'(x)=0\Leftrightarrow1+\frac{\pi}{4}-\frac{4}{x^2}=0\Leftrightarrow x^2=\frac{16}{\pi+4}\Leftrightarrow x=\frac{4}{\sqrt{\pi+4}}\in\left(0;\frac{4}{\sqrt{\pi}}\right)$.
$P\left(\frac{4}{\sqrt{\pi+4}}\right)\approx5,34$; $P\left(\frac{4}{\sqrt{\pi}}\right)\approx5,80$.
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có $\min P(x)=P\left(\frac{4}{\sqrt{\pi+4}}\right)\approx5,34$.
Vậy chu vi nhỏ nhất của mặt cắt ngang của đường cống là khoảng 5,34 m khi $x=\frac{4}{\sqrt{\pi+4}}\approx1,50$ m và $y=\frac{2}{x}-\frac{\pi x}{8}\approx0,75$ m.