Cho mẫu số liệu dưới dạng bảng tần số ghép nhóm như sau: | Nhóm | Tần số | |---|---| | $\left[0;5\right)$ | 11 | | $\left[5;10\right)$ | 31 | | $\left[10;15\right)$ | 45 | | $\left[15;20\right)$ | 21 | | $\left[20;25\right)$ | 12 | | **Tổng** | $n=120$ | Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Lời giải Ta có cỡ mẫu $n = 11 + 31 + 45 + 21 + 12 = 120$. +) Mệnh đề a): Gọi $x_{1}, x_{2}, ..., x_{120}$ là các giá trị được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó trung vị là $\frac{x_{60} + x_{61}}{2}$. Do hai giá trị $x_{60}, x_{61}$ đều thuộc nhóm $\left[10;15\right)$ nên nhóm này chứa số trung vị. Do đó: $$ p = 3, \quad a_{3} = 10, \quad a_{4} = 15, \quad a_{4} - a_{3} = 5, \quad m_{3} = 45, \quad m_{1} + m_{2} = 42 $$ $$ M_{e} = 10 + \frac{\frac{120}{2} - 42}{45} \cdot 5 = 12 $$ Suy ra đáp án a) đúng. +) Mệnh đề b): Tứ phân vị thứ 3 là $Q_{3}$ vị trí thứ $\frac{3n}{4} = 90$. Do hai giá trị $x_{90}, x_{91}$ thuộc nhóm $\left[15;20\right)$ nên nhóm này chứa tứ phân vị thứ 3. Do đó: $$ p = 4, \quad a_{4} = 15, \quad a_{5} = 20, \quad a_{5} - a_{4} = 5, \quad m_{4} = 21, \quad m_{1} + m_{2} + m_{3} = 11 + 31 + 45 = 87 $$ $$ Q_{3} = 15 + \frac{90 - 87}{21} \cdot 5 = \frac{110}{7} \approx 15,71 $$ Suy ra đáp án b) sai. +) Mệnh đề c): Tần số lớn nhất là $45$ nên nhóm chứa mốt là nhóm $\left[10;15\right)$. Do đó: $$ u_{m} = 10, \quad n_{m} = 45, \quad n_{m-1} = 31, \quad n_{m+1} = 21, \quad h = 5 $$ $$ M_{o} = 10 + \frac{45 - 31}{(45 - 31) + (45 - 21)} \cdot 5 = \frac{225}{19} \approx 11,84 $$ Suy ra đáp án c) đúng. +) Mệnh đề d): Gọi giá trị đại diện của các nhóm lần lượt là $2,5;\,7,5;\,12,5;\,17,5;\,22,5$. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar{x} \approx 11,79$. Suy ra đáp án d) đúng.