Bài tập nâng cao · Bài 81
7. HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 81
Giải hệ phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l} \tan x+\tan y=\frac{2\sqrt{3}}{3} \\ \cot x+\cot y=\frac{-2\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.$
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $X=\tan x,Y=\tan y$ hệ đã cho trở thành:
$\left\{ \begin{array}{l} X+Y=\frac{2\sqrt{3}}{3} \\ \frac{1}{X}+\frac{1}{Y}=-\frac{2\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X+Y=\frac{2\sqrt{3}}{3} \\ \frac{X+Y}{XY}=-\frac{2\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X+Y=\frac{2\sqrt{3}}{3} \\ XY=-1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X+Y=\frac{2\sqrt{3}}{3} \\ X^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}X-1=0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X=\sqrt{3} \\ Y=-\frac{\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.v\left\{ \begin{array}{l} X=-\frac{\sqrt{3}}{3} \\ Y=\sqrt{3} \end{array} \right.$
Do đó: hệ đã cho
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \tan x=\sqrt{3} \\ \tan y=-\frac{\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.v\left\{ \begin{array}{l} \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \tan y=\sqrt{3} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{3}+k\pi \\ y=\frac{-\pi}{6}+k\pi \end{array} \right.v\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{-\pi}{6}+k\pi \\ y=\frac{\pi}{3}+k\pi \end{array} \right.$
$\left\{ \begin{array}{l} X+Y=\frac{2\sqrt{3}}{3} \\ \frac{1}{X}+\frac{1}{Y}=-\frac{2\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X+Y=\frac{2\sqrt{3}}{3} \\ \frac{X+Y}{XY}=-\frac{2\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X+Y=\frac{2\sqrt{3}}{3} \\ XY=-1 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X+Y=\frac{2\sqrt{3}}{3} \\ X^{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}X-1=0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} X=\sqrt{3} \\ Y=-\frac{\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.v\left\{ \begin{array}{l} X=-\frac{\sqrt{3}}{3} \\ Y=\sqrt{3} \end{array} \right.$
Do đó: hệ đã cho
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \tan x=\sqrt{3} \\ \tan y=-\frac{\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.v\left\{ \begin{array}{l} \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \tan y=\sqrt{3} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{3}+k\pi \\ y=\frac{-\pi}{6}+k\pi \end{array} \right.v\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{-\pi}{6}+k\pi \\ y=\frac{\pi}{3}+k\pi \end{array} \right.$