Bài tập nâng cao · Bài 83
7. HỆ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 83
Giải các bất phương trình
a. $\tan^{2}x+5\tan x-6\leq 0$.
b. $\cot x-\tan x-2\tan 2x-4\tan 4x-8\tan 8x\geq 16\sqrt{3}$.
a. $\tan^{2}x+5\tan x-6\leq 0$.
b. $\cot x-\tan x-2\tan 2x-4\tan 4x-8\tan 8x\geq 16\sqrt{3}$.
Xem lời giải
Lời giải
a. $\tan^{2}x+5\tan x-6\leq 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -6\leq \tan x \\ \tan x\leq 1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\notin \left[ \frac{\pi}{2}+k\pi ;\arctan\left( -6 \right)+k\pi \right] \\ x\notin \left( \frac{\pi}{4}+k\pi ;\frac{\pi}{2}+k\pi \right] \end{array} \right.$
(Dựa vào đường tròn đơn vị ta có phần không màu là nghiệm của BPT).
b. $\cot x-\tan x-2\tan 2x-4\tan 4x-8\tan 8x\geq 16\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}-2\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-4\frac{\sin 4x}{\cos 4x}-8\frac{\sin 8x}{\cos 8x}\geq 16\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \frac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin x\cos x}-2\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-4\frac{\sin 4x}{\cos 4x}-8\frac{\sin 8x}{\cos 8x}\geq 16\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow 2\frac{\cos 2x}{\sin 2x}-2\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-4\frac{\sin 4x}{\cos 4x}-8\frac{\sin 8x}{\cos 8x}\geq 16\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow 4\frac{\cos 4x}{\sin 4x}-4\frac{\sin 4x}{\cos 4x}-8\frac{\sin 8x}{\cos 8x}\geq 16\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow 8\frac{\cos 8x}{\sin 8x}-8\frac{\sin 8x}{\cos 8x}\geq 16\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow 16\frac{\cos 16x}{\sin 16x}\geq 16\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 16x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 16x\geq 0$
$\Leftrightarrow \sin\left( \frac{\pi}{6}-16x \right)\geq 0$ $\Leftrightarrow k2\pi\leq \frac{\pi}{6}-16x\leq \pi+k2\pi$
$\Leftrightarrow \frac{\pi}{96}+\frac{\left( 2k+1 \right)}{16}\pi\leq x\leq \frac{\pi}{96}+\frac{k\pi}{8}$.
(Dựa vào đường tròn đơn vị ta có phần không màu là nghiệm của BPT).
b. $\cot x-\tan x-2\tan 2x-4\tan 4x-8\tan 8x\geq 16\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cos x}-2\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-4\frac{\sin 4x}{\cos 4x}-8\frac{\sin 8x}{\cos 8x}\geq 16\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \frac{\cos^{2}x-\sin^{2}x}{\sin x\cos x}-2\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-4\frac{\sin 4x}{\cos 4x}-8\frac{\sin 8x}{\cos 8x}\geq 16\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow 2\frac{\cos 2x}{\sin 2x}-2\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-4\frac{\sin 4x}{\cos 4x}-8\frac{\sin 8x}{\cos 8x}\geq 16\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow 4\frac{\cos 4x}{\sin 4x}-4\frac{\sin 4x}{\cos 4x}-8\frac{\sin 8x}{\cos 8x}\geq 16\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow 8\frac{\cos 8x}{\sin 8x}-8\frac{\sin 8x}{\cos 8x}\geq 16\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow 16\frac{\cos 16x}{\sin 16x}\geq 16\sqrt{3}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 16x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 16x\geq 0$
$\Leftrightarrow \sin\left( \frac{\pi}{6}-16x \right)\geq 0$ $\Leftrightarrow k2\pi\leq \frac{\pi}{6}-16x\leq \pi+k2\pi$
$\Leftrightarrow \frac{\pi}{96}+\frac{\left( 2k+1 \right)}{16}\pi\leq x\leq \frac{\pi}{96}+\frac{k\pi}{8}$.