Bài tự luận · Bài 31
Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 31
Giả sử một loại hàng hoá có hàm cầu được mô hình hoá bởi $p=100-0,5x$ và hàm chi phí được mô hình hoá bởi $C=40x+37,5$, trong đó $p$ (nghìn đồng) là giá của một đơn vị hàng hoá đó.
a) Mức giá nào sẽ mang lại lợi nhuận lớn nhất?
b) Khi lợi nhuận là lớn nhất, chi phí trung bình cho mỗi đơn vị là bao nhiêu?
a) Mức giá nào sẽ mang lại lợi nhuận lớn nhất?
b) Khi lợi nhuận là lớn nhất, chi phí trung bình cho mỗi đơn vị là bao nhiêu?
Xem lời giải
Lời giải
a) Hàm lợi nhuận là
$P(x)=R(x)-C(x)=x(100-0,5x)-40x-37,5=-0,5x^2+60x-37,5$.
Ta có $P'(x)=-x+60$; $P'(x)=0\Leftrightarrow x=60$. Dễ thấy hàm lợi nhuận $P(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=60$.
Khi đó $p=100-0,5\cdot60=70$ (nghìn đồng).
Vậy nếu bán mỗi đơn vị hàng hoá với giá 70 nghìn đồng thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.
b) Chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là $c(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{40x+37,5}{x}$.
Khi lợi nhuận là lớn nhất thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là $c(60)=40,625$ (nghìn đồng).
$P(x)=R(x)-C(x)=x(100-0,5x)-40x-37,5=-0,5x^2+60x-37,5$.
Ta có $P'(x)=-x+60$; $P'(x)=0\Leftrightarrow x=60$. Dễ thấy hàm lợi nhuận $P(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=60$.
Khi đó $p=100-0,5\cdot60=70$ (nghìn đồng).
Vậy nếu bán mỗi đơn vị hàng hoá với giá 70 nghìn đồng thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.
b) Chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là $c(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{40x+37,5}{x}$.
Khi lợi nhuận là lớn nhất thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là $c(60)=40,625$ (nghìn đồng).