Dạng 6. Bài toán min-max
- Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết.
- Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc.
- Sử dụng kết quả $\left| \sin\alpha \right|\leq 1,\,\,\left| \cos\alpha \right|\leq 1$ với mọi số thực $\alpha$
Bài tập nâng cao Công thức lượng giác · Bài 39
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức $B=\cos 2x+\sqrt{1+2\sin^{2}x}$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $B=\cos 2x+\sqrt{1+1-\cos 2x}=\cos 2x+\sqrt{2-\cos 2x}$
Đặt $t=\sqrt{2-\cos 2x}\Rightarrow \cos 2x=2-t^{2}$, vì $-1\leq \cos 2x\leq 1\Rightarrow 1\leq t\leq \sqrt{3}$
Biểu thức trở thành $B=2-t^{2}+t$.
Xét hàm số $y=-t^{2}+t+2$ với $1\leq t\leq \sqrt{3}$.
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra $\max B=2$ khi $t=1$ hay $\cos 2x=1$.
$\min B=\sqrt{3}-1$ khi $t=\sqrt{3}$ hay $\cos 2x=-1$.
