Bài tự luận · Bài 9
Dạng 1. Tính số đo của góc nhị diện Phuơng pháp: Xác định vị trí của góc phẳng nhị diện (nằm trên mặt phẳng vuông góc với cạnh của góc nhị diện) rồi tính số đo của góc phẳng nhị diện đó.
Bài tự luận Góc nhị diện · Bài 9
(CTST11) Cho hình chóp $S\cdot ABCD$ có $SA\perp(ABCD)$, đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $AC=a,SA=\frac{a}{2}$. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo hình thoi $ABCD$ và $H$ là hình chiếu của $O$ trên $SC$. Tính số đo các góc phẳng nhị diện:
a) $[B,SA,D]$;
b) $[S,BD,A]$;
c) $[S,BD,C]$;
d) $[D,SC,B]$.
a) $[B,SA,D]$;
b) $[S,BD,A]$;
c) $[S,BD,C]$;
d) $[D,SC,B]$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có $\left\{ \begin{array}{l} SA\perp AD \\ SA\perp AB \end{array} \right.\Rightarrow \widehat{DAB}$ là góc phẳng nhị diện $[D,SA,B]$.
Tam giác $DAC$ là tam giác đều $(AD=DC=AC=a)$, nên $\widehat{DAC}=60^{\circ}$.
Ta có $\widehat{DAB}=2\widehat{DAC}=2.60^{\circ}=120^{\circ}$.
b) Ta có $\Delta SAD=\Delta SAB\Rightarrow SD=SB$.
Nên $\Delta SBD$ cân tại $S\Rightarrow SO\perp BD($ do $OB=OD)$.(1)
Ta lại có $OA\perp BD$. (2)
Từ (1) và $(2)\Rightarrow \widehat{SOA}$ là góc phẳng nhị diện $[S,BD,A]$.
Trong tam giác $SOA$ vuông tại $A$, ta có:
$\tan\widehat{SOA}=\frac{SA}{OA}=\frac{a}{2}\cdot \frac{2}{a}=1\Rightarrow \widehat{SOA}=45^{\circ}$.
c) Ta có $\left\{ \begin{array}{l} OS\perp BD \\ OC\perp BD \end{array} \right.\Rightarrow \widehat{SOC}$ là góc phẳng nhị diện $[S,BD,C]$.
Ta có $\widehat{SOC}=180^{\circ}-\widehat{SOA}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$.
d) Ta có $BD\perp AC,BD\perp SA\Rightarrow BD\perp(SAC)\Rightarrow BD\perp SC$ hay $OD\perp SC$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} SC\perp OD \\ SC\perp OH \end{array} \right.\Rightarrow SC\perp(ODH)$ hay $SC\perp(DHB)$.
Nên $\left\{ \begin{array}{l} SC\perp DH \\ SC\perp BH \end{array} \right.\Rightarrow \widehat{DHB}$ là góc phẳng nhị diện $[D,SC,B]$.
Trong tam giác $SAC$ vuông tại $A$, ta có $SC=\sqrt{SA^{2}+AC^{2}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Ta có $\frac{OH}{SA}=\frac{OC}{SC}\Rightarrow OH=\frac{SA.OC}{SC}=\frac{a}{2\sqrt{5}}$.
$ADC$ là tam giác đều nên $DO=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Trong tam giác $OHD$ vuông tại $O$, ta có
$\tan\widehat{OHD}=\frac{OD}{OH}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{a}=\sqrt{15}\Rightarrow \widehat{OHD}\approx 75,5^{\circ}$.
Vậy $\widehat{DHB}=2.\widehat{OHB}\approx 2.75,5^{\circ}=151^{\circ}$.