Bài tập nâng cao · Bài 26
Dạng 2. Phương trình đường thẳng
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 26
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai đường tròn: $(C_1):x^2+y^2=13$ và $(C_2):(x-6)^2+y^2=25$ cắt nhau tại $A(2;3)$. Viết phương trình tất cả đường thẳng $d$ đi qua $A$ và cắt $(C_1),(C_2)$ theo hai dây cung có độ dài bằng nhau.
Xem lời giải
Lời giải
- Từ giả thiết: $(C_1):I=(0;0),R=\sqrt{13}$. $(C_2):J(6;0),R'=5$
- Gọi đường thẳng $d$ qua $A(2;3)$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow u=(a;b)\Rightarrow d:\left\{\begin{array}{l}x=2+at\\y=3+bt\end{array}\right.$
- $d$ cắt $(C_1)$ tại $A,B$ nên tọa độ hai điểm $A,B$ thỏa mãn hệ phương trình
$\left\{\begin{array}{l}x=2+at\\y=3+bt\\x^2+y^2=13\end{array}\right.\Leftrightarrow[(a^2+b^2)t^2+2(2a+3b)t]=0\Rightarrow\left[\begin{array}{l}t=-\dfrac{2(2a+3b)}{a^2+b^2}\\t=0\end{array}\right.$. $t=0\Rightarrow A(2;3)$, $t=-\dfrac{2(2a+3b)}{a^2+b^2}$
$\Rightarrow B\left(\dfrac{-2a^2-6ab+2b^2}{a^2+b^2};\dfrac{3a^2-4ab-3b^2}{a^2+b^2}\right)$. Tương tự $d$ cắt $(C_2)$ tại $A,C$ thì tọa độ của $A,C$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x=2+at\\y=3+bt\\(x-6)^2+y^2=25\end{array}\right.\Rightarrow t=\dfrac{2(4a-3b)}{a^2+b^2}\Rightarrow C\left(\dfrac{10a^2-6ab+2b^2}{a^2+b^2};\dfrac{3a^2+8ab-3b^2}{a^2+b^2}\right)$
- Hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi $AB=AC$. Ta có:
$AB=\dfrac{2|2a+3b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $AC=\dfrac{2|4a-3b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
$\Rightarrow|2a+3b|=|4a-3b|\Leftrightarrow12a(a-3b)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=0\Rightarrow d:\left\{\begin{array}{l}x=2\\y=3+t\end{array}\right.\\a=3b\Rightarrow\overrightarrow u=(3b;b)\parallel\overrightarrow{u'}=(3;1)\end{array}\right.$
Suy ra: $d:\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\y=3+t\end{array}\right.$. Vậy có 2 đường thẳng: $d:x-2=0$ và $d':x-3y+7=0$.
- Gọi đường thẳng $d$ qua $A(2;3)$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow u=(a;b)\Rightarrow d:\left\{\begin{array}{l}x=2+at\\y=3+bt\end{array}\right.$
- $d$ cắt $(C_1)$ tại $A,B$ nên tọa độ hai điểm $A,B$ thỏa mãn hệ phương trình
$\left\{\begin{array}{l}x=2+at\\y=3+bt\\x^2+y^2=13\end{array}\right.\Leftrightarrow[(a^2+b^2)t^2+2(2a+3b)t]=0\Rightarrow\left[\begin{array}{l}t=-\dfrac{2(2a+3b)}{a^2+b^2}\\t=0\end{array}\right.$. $t=0\Rightarrow A(2;3)$, $t=-\dfrac{2(2a+3b)}{a^2+b^2}$
$\Rightarrow B\left(\dfrac{-2a^2-6ab+2b^2}{a^2+b^2};\dfrac{3a^2-4ab-3b^2}{a^2+b^2}\right)$. Tương tự $d$ cắt $(C_2)$ tại $A,C$ thì tọa độ của $A,C$ là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{array}{l}x=2+at\\y=3+bt\\(x-6)^2+y^2=25\end{array}\right.\Rightarrow t=\dfrac{2(4a-3b)}{a^2+b^2}\Rightarrow C\left(\dfrac{10a^2-6ab+2b^2}{a^2+b^2};\dfrac{3a^2+8ab-3b^2}{a^2+b^2}\right)$
- Hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi $AB=AC$. Ta có:
$AB=\dfrac{2|2a+3b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $AC=\dfrac{2|4a-3b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
$\Rightarrow|2a+3b|=|4a-3b|\Leftrightarrow12a(a-3b)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}a=0\Rightarrow d:\left\{\begin{array}{l}x=2\\y=3+t\end{array}\right.\\a=3b\Rightarrow\overrightarrow u=(3b;b)\parallel\overrightarrow{u'}=(3;1)\end{array}\right.$
Suy ra: $d:\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\y=3+t\end{array}\right.$. Vậy có 2 đường thẳng: $d:x-2=0$ và $d':x-3y+7=0$.