Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $, tam giác $ SAB $ đều và $ SC=a\sqrt { 2 } $. Gọi $ H $ là trung điểm của cạnh $ AB $.
a) Chứng minh rằng $ SH\perp(ABCD) $.
b) Tính theo $ a $ thể tích khối chóp $ S.ABCD $.
c) Tính theo $ a $ khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ (SBD) $.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/12-CD34. ON TAP HHKG QUAN HE VUONG GOC 11/B. TU LUAN/image75.png] a) Ta có: $ SH=\frac { a\sqrt { 3 } } { 2 },HC=\frac { a\sqrt { 5 } } { 2 } $,suy ra $ SH ^ { 2 } +HC ^ { 2 } =SC ^ { 2 } $, do đó $ \Delta SHC $ vuông tại $ H $, hay $ SH\perp HC $. Lại có $ SH\perp AB $ nên $ SH\perp(ABCD) $. b) Ta có: $ SH=\frac { a\sqrt { 3 } } { 2 },S_{ ABCD } =a ^ { 2 } $. Suy ra $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }\cdot S_{ ABCD } \cdot SH=\frac { 1 } { 3 }\cdot a ^ { 2 } \cdot \frac { a\sqrt { 3 } } { 2 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt { 3 } } { 6 } $. c) Vì $ H $ là trung điểm của $ AB $ nên $ d(A,(SBD))=2\cdot d(H,(SBD)) $. Kẻ $ HK $ vuông góc với $ BD $ tại $ K,HQ $ vuông góc với $ SK $ tại $ Q $. Khi đó $ HQ\perp(SBD) $, suy ra $ d(H,(SBD))=HQ $. Ta tính được $ HK=\frac { AC } { 4 }=\frac { a\sqrt { 2 } } { 4 },SH=\frac { a\sqrt { 3 } } { 2 } $, mà tam giác SHK vuông tại $ H $, đường cao $ HQ $ nên $ \frac { 1 } { HQ ^ { 2 } }=\frac { 1 } { HK ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HS ^ { 2 } } $. Suy ra $ HQ=\frac { a\sqrt { 21 } } { 14 } $, do đó $ d(A,(SBD))=2HQ=\frac { a\sqrt { 21 } } { 7 } $.

Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 3