Bài tự luận · Bài 4
Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 4
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ SA\perp(ABCD) $, biết $ ABCD $ là hình vuông cạnh bằng $ a $ và $ SA=a\sqrt { 2 } $.
a) Chứng minh rằng $ (SAC)\perp(SBD) $ và $ (SAD)\perp(SCD) $.
b) Gọi $ BE,DF $ là hai đường cao của tam giác $ SBD $. Chứng minh rằng $ (ACF)\perp(SBC) $ và $ (AEF)\perp(SAC) $.
c) Tính theo $ a $ khoảng cách giữa hai đường thẳng $ BD $ và $ SC $.
a) Chứng minh rằng $ (SAC)\perp(SBD) $ và $ (SAD)\perp(SCD) $.
b) Gọi $ BE,DF $ là hai đường cao của tam giác $ SBD $. Chứng minh rằng $ (ACF)\perp(SBC) $ và $ (AEF)\perp(SAC) $.
c) Tính theo $ a $ khoảng cách giữa hai đường thẳng $ BD $ và $ SC $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $ BD\perp AC,SA\perp(ABCD) $ nên $ SA\perp BD $, suy ra $ BD\perp(SAC) $, mà mặt phẳng $ (SBD) $ chứa đường thẳng $ BD $, do đó $ (SBD)\perp(SAC) $.
Ta có: $ CD\perp AD,CD\perp SA $, suy ra $ CD\perp(SAD) $, mà mặt phẳng $ (SCD) $ chứa đường thẳng $ CD $, do đó $ (SCD)\perp(SAD) $.
b) Ta có: $ AD\perp(SAB) $ nên $ AD\perp SB $, mà $ SB\perp DF $ suy ra $ SB\perp(ADF) $, do đó $ SB\perp AF $. Ta lại có $ BC\perp(SAB) $ nên $ BC\perp AF $, suy ra $ AF\perp(SBC) $, mà mặt phẳng $ (ACF) $ chứa đường thẳng $ AF $ nên $ (ACF)\perp(SBC) $.
Vì $ AF\perp(SBC) $ nên $ AF\perp SC $. Tương tự, ta có $ AE\perp(SCD) $ nên $ AE\perp SC $, suy ra $ SC\perp(AEF) $, mà mặt phẳng $ (SAC) $ chứa đường thẳng $ SC $ nên $ (AEF)\perp(SAC) $.
c) Gọi $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD $, kẻ $ OH\perp SC $ tại $ H $, mà $ BD\perp(SAC) $ nên $ OH\perp BD $, suy ra $ OH $ là đoạn vuông góc chung của $ BD $ và $ SC $, hay $ d(BD,SC)=OH $.
Ta có: $ \Delta CHO \sim \Delta CAS $ nên $ \frac { OC } { CS }=\frac { OH } { AS } $, suy ra $ OH=\frac { AS\cdot OC } { CS }=\frac { a } { 2 } $. Vậy $ d(BD,SC)=\frac { a } { 2 } $.