Bài tự luận · Bài 5
Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 5
Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh bằng $ a $, cạnh bên $ SA=\frac { a\sqrt { 5 } } { 2 } $. Gọi $ SM,SN $ lần lượt là đường cao của tam giác $ SAD $ và tam giác $ SBC $.
a) Chứng minh rằng $ (SMN)\perp(ABCD) $.
b) Tính số đo của góc nhị diện $ [S,AD,B] $.
c) Tính theo $ a $ thể tích khối chóp $ S.ABCD $.
a) Chứng minh rằng $ (SMN)\perp(ABCD) $.
b) Tính số đo của góc nhị diện $ [S,AD,B] $.
c) Tính theo $ a $ thể tích khối chóp $ S.ABCD $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Gọi $ O $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD $.
Ta có: $ AD\perp SM,AD\parallel BC $ nên $ BC\perp SM $, mà $ BC\perp SN $, suy ra $ BC\perp(SMN) $.
Do đó $ (SMN)\perp(ABCD) $.
b) Vì $ MN $ đi qua $ O $ và $ OM\perp AD,SM\perp AD $ nên $ [S,AD,B]= \widehat { SMO } $, ta tính được $ SM=SN=MN=a $. Do đó tam giác $ SMN $ đều, suy ra $ \widehat { SMN }=60 ^ { ° } $.
Vậy $ [S,AD,B]=60 ^ { ° } $.
c) Ta có: $ SO=\frac { a\sqrt { 3 } } { 2 },S_{ ABCD } =a ^ { 2 } $, suy ra $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }\cdot S_{ ABCD } \cdot SO=\frac { a ^ { 3 } \sqrt { 3 } } { 6 } $.