Cho hình lăng trụ đứng $ ABC.A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } $ có $ \widehat { BAC }=60 ^ { ° } ,AB=2a,AC=3a $ và số đo của góc nhị diện $ \left[ A ^ { ′ } ,BC,A \right] $ bằng $ 45 ^ { ° } $.
a) Tính theo $ a $ khoảng cách từ điểm $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { A ^ { ′ } BC } \right ) $.
b) Tính theo $ a $ thể tích khối lăng trụ $ ABC.A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } $.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/12-CD34. ON TAP HHKG QUAN HE VUONG GOC 11/B. TU LUAN/image200.png] a) Kẻ $ AH $ vuông góc với $ BC $ tại $ H,AK $ vuông góc với $ A ^ { ′ } H $ tại $ K $ thì $ AK\perp\left ( { A ^ { ′ } BC } ight ) $, suy ra $ A ^ { ′ } H\perp BC $. Góc nhị diện $ \left[ A ^ { ′ } ,BC,A ight] $ bằng $ \widehat { AHA ^ { ′ } } $, suy ra $ \widehat { AHA ^ { ′ } }=45 ^ { ° } $. Theo định lí cô\sin, áp dụng cho tam giác $ ABC $, ta có: $ BC ^ { 2 } =AB ^ { 2 } +AC ^ { 2 } -2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \widehat { BAC }=7a ^ { 2 } $, suy ra $ BC=a\sqrt { 7 } $. Do đó $ AH=\frac { 2\cdot S_{ ABC } } { BC }=\frac { AB\cdot AC\cdot \sin \widehat { BAC } } { BC }=\frac { 3\sqrt { 21 } } { 7 }a. $ Vì tam giác $ AHA ^ { ′ } $ vuông cân tại $ A $ nên $ AK=\frac { A ^ { ′ } H } { 2 }=\frac { AH\sqrt { 2 } } { 2 }=\frac { 3\sqrt { 42 } } { 14 }a $. Vậy $ d\left ( { A,\left ( { A ^ { ′ } BC } ight ) } ight )=\frac { 3\sqrt { 42 } } { 14 }a $. b) Thể tích khối lăng trụ $ ABC.A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } $ là $ \begin{array}{ll} V_{ ABC.A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } } & =S_{ ABC } \cdot AA ^ { ′ } \ & =\frac { 1 } { 2 }\cdot AB\cdot AC\cdot \sin60 ^ { ° } \cdot AA ^ { ′ } \ & =\frac { 27\sqrt { 7 } } { 14 }a ^ { 3 } . \ \end{array} $

Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 6